תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 נוסחת קושי ומסקנותיה
1.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- כפי שראינו האקספוננט המרוכב אינו חח"ע ולכן אינו הפיך וממילא נוכל להגדיר את הלוגריתם הטבעי, כמו במקרים דומים שראינו בעבר1כדי להגדיר את הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות צמצמנו את \(\sin\) ל-\(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), את \(\cos\) ל-\(\left[0,\pi\right]\) ואת \(\tan\) ל-\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). הפתרון הוא לצמצם את תחום ההגדרה של האקספוננט וכך למצוא הופכית מקומית.
- סימון:
- לכל \(\alpha\in\MKreal\) ולכל \(z\in\MKcomplex^{*}\) נסמן ב-\(\arg_{\alpha}\left(z\right)\) את המספר היחיד ב-\(\left[\alpha,\alpha+2\pi\right)\) המקיים:\[ \frac{z}{\left|z\right|}=\MKcis\left(\arg_{\alpha}\left(z\right)\right) \]וכמו כן נסמן \(\log_{\alpha}\left(z\right):=\ln\left|z\right|+i\cdot\arg_{\alpha}\left(z\right)\).
- סימון:
- לכל \(\theta\in\MKreal\) נסמן \(R_{\theta}:=\left\{ r\cdot\MKcis\left(\theta\right)\mid0\leq r\in\MKreal\right\} \), זוהי הקרן היוצאת מן הראשית בזווית \(\theta\) (כולל הראשית עצמה).
- סימון:
- יהי \(\alpha\in\MKreal\), לכל \(z\in\MKcomplex\setminus R_{\alpha}\) ולכל \(n\in\MKnatural\) נגדיר את השורש ה-\(n\)-י האנליטי של \(z\) (ביחס ל-\(\alpha\)) ע"י:\[
\sqrt[n]{z}:=e^{\frac{1}{n}\cdot\log_{\alpha}\left(z\right)}
\]נסמן גם \(\sqrt[n]{0}:=0\) לכל \(n\in\MKnatural\).
כעת ניתן גם להגדיר חזקה רציונלית של מספר מרוכב \(z\in\MKcomplex^{*}\) ע"י (לכל \(\frac{m}{n}\in\MKrational\)):\[ z^{\frac{m}{n}}:=e^{\frac{m}{n}\cdot\log_{\alpha}\left(z\right)} \] - \(\clubsuit\)
- למי שתהה לעצמו: אין דרך אחרת לעשות זאת משום שאין סיבה להעדיף את אחד השורשים על פני האחרים (בממשיים העדפנו את החיובי), חוסר תשומת לב לנקודה זו מובילה ל"פרדוקסים" כגון:\[ -1=i^{2}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{\left(-1\right)\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1 \]
מסקנה 1.1. לכל \(\alpha\in\MKreal\) ולכל \(z\in\MKcomplex^{*}\) מתקיים:\[
z=e^{\log_{\alpha}\left(z\right)}
\]כלומר \(\log_{\alpha}\) היא פונקציה חח"ע ועל מ-\(\MKcomplex^{*}\) ל-\(\left\{ z\in\MKcomplex\mid\alpha\leq\MKim\left(z\right)<\alpha+2\pi\right\} \).
מסקנה 1.2. יהי \(\alpha\in\MKreal\), \(\arg_{\alpha}\) ו-\(\log_{\alpha}\) הן פונקציות רציפות על \(\MKcomplex\setminus R_{\alpha}\).
הגדרה 1.3. לוגריתם רציף וארגומנט רציף של פונקציה
תהא \(A\subseteq\MKcomplex\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה רציפה.
תהא \(A\subseteq\MKcomplex\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה רציפה.
- פונקציה \(g:A\rightarrow\MKcomplex\) תיקרא לוגריתם רציף של \(f\) אם היא רציפה ולכל \(z\in A\) מתקיים \(f\left(z\right)=e^{g\left(z\right)}\).
- כמו כן פונקציה \(\theta:A\rightarrow\MKreal\) תיקרא ארגומנט רציף של \(f\) אם היא רציפה ולכל \(z\in A\) מתקיים \(f\left(z\right)=\left|f\left(z\right)\right|\cdot\MKcis\left(\theta\left(z\right)\right)\).
הגדרה 1.4. לוגריתם אנליטי
תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה אנליטית, נאמר שפונקציה \(g:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) היא לוגריתם אנליטי של \(f\) אם \(g\) אנליטית ולכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(f\left(z\right)=e^{g\left(z\right)}\).
תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה אנליטית, נאמר שפונקציה \(g:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) היא לוגריתם אנליטי של \(f\) אם \(g\) אנליטית ולכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(f\left(z\right)=e^{g\left(z\right)}\).
1.2 משפט האינטגרל של קושי ונוסחת קושי
- סימון:
- לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) נסמן \(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right):=\left\{ \lambda_{1}\cdot z_{1}+\lambda_{2}\cdot z_{2}+\lambda_{3}\cdot z_{3}\mid\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1,\ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\geq0\right\} \).
- \(\clubsuit\)
- זהו המשולש הסגור שקודקודיו הם \(z_{1},z_{2},z_{3}\).
- סימון:
- לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) נסמן \(T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right):=I\left(z_{1},z_{2}\right)*I\left(z_{2},z_{3}\right)*I\left(z_{3},z_{1}\right)\).
- הסכמה:
- יהיו \(z_{1},z_{2},z_{3}\) שאינם נמצאים על ישר אחד2כלומר הקבוצה \(\left\{ z_{2}-z_{1},z_{3}-z_{1}\right\} \) היא בסיס של \(\MKreal^{2}\) (נסתכל על מספרים מרוכבים כווקטורים ב-\(\MKreal^{2}\))., סימן האוריינטציה של \(T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\) הוא הסימן של הדטרמיננטה:\[ \det\begin{pmatrix}\MKre\left(z_{2}-z_{1}\right) & \MKre\left(z_{3}-z_{1}\right)\\ \MKim\left(z_{2}-z_{1}\right) & \MKim\left(z_{3}-z_{1}\right) \end{pmatrix} \]
- \(\clubsuit\)
- דטרמיננטה חיובית אומרת שהיחס בין \(z_{2}-z_{1}\) ל-\(z_{3}-z_{1}\) הוא כמו היחס בין \(e_{1}\) ל-\(e_{2}\) ולכן הסדר \(\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\) הוא נגד כיוון השעון שהוא הכיוון המתמטי החיובי, אותו הדבר נכון בהיפוך כשהדטרמיננטה שלילית.
- \(\clubsuit\)
- אם \(f\) בעלת פונקציה קדומה אז המשפט נובע מהמשפט היסודי ואין צורך שכל המשולש יוכל ב-\(\Omega\) אלא מספיק שצלעותיו תהיינה מוכלות.
- \(\clubsuit\)
- בפרט לכל פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה וקמורה יש קדומה בקבוצה זו, ובפרט עבור כדור פתוח סביב נקודה - כלומר לכל פונקציה אנליטית יש קדומה מקומית בכל מקום3זה לא אומר שיש קדומה בכל מקום בכלל מפני שייתכן שהקדומות הללו שונות..
- סימון:
- לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) ו-\(0<r\in\MKreal\) נסמן ב-\(C\left(z,R\right)\) את המסילה \(C\left(z_{0},r\right):\left[0,2\pi\right]\rightarrow\MKcomplex\) המוגדרת ע"י (לכל \(\theta\in\left[0,2\pi\right]\)):\[ C\left(z_{0},r\right)\theta:=z_{0}+r\cdot\MKcis\theta=z_{0}+r\cdot e^{i\theta} \]
- \(\clubsuit\)
- באותה דרך ניתן להסיק שלכל \(0\leq\theta\in\MKreal\) מתקיים:\[ \intop_{\gamma_{r,\theta}}\frac{1}{z-z_{0}}\ dz=\theta\cdot i \]כאשר \(\gamma_{r,\theta}:\left[0,\theta\right]\rightarrow\MKcomplex\) היא המסילה המוגדרת ע"י \(\gamma_{r,\theta}\left(t\right):=w+r\cdot e^{it}\) עבור \(w\in\MKcomplex\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כלשהם.
- \(\clubsuit\)
- למעשה ניתן להסיק יותר מזה, ל-\(f\) הנ"ל אין קדומה באף סביבה מנוקבת של \(0\), כל מה שעלינו לעשות הוא לקחת מעגל קטן יותר סביב \(0\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר הערכים ש-\(f\) מקבלת על שפת המעגל קובעים אותה ביחידות בתוך המעגל - אין עוד פונקציה אנליטית אחרת שמקבלת את אותם הערכים על השפה אך מקבלת ערכים שונים בפנים.
- \(\clubsuit\)
- המשפט נקרא "משפט הערך הממוצע" משום שהוא אומר ש-\(f\left(z\right)\) הוא ממוצע הערכים של \(f\) על המעגל.
משפט 1.5. משפט האינטגרל של קושי למשולשים (הגרסה החלשה)
תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית, לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]
תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית, לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]
הוכחה. יהיו \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\).
- תחילה נסביר כיצד ניתן להחליף אינטגרל של פונקציה רציפה על משולש, באינטגרל על ארבעה משולשים חופפים הדומים למשולש המקורי כשיחס הדמיון הוא \(2:1\); כל זאת בתנאי שפנים המשולש מוכל גם הוא בתחום ההגדרה של הפונקציה עליה מבצעים את האינטגרל.
יהיו \(A,B,C\in\MKcomplex\) ונסמן:\[ a:=\frac{A+B}{2},\ b:=\frac{B+C}{2},\ c:=\frac{C+A}{2} \]מהגדרה:\[\begin{align*} {\color{purple}T\left(A,B,C\right)} & =I\left(A,B\right)*I\left(B,C\right)*I\left(C,A\right)\\ & ={\color{red}I\left(A,a\right)}*{\color{blue}I\left(a,B\right)}*{\color{blue}I\left(B,b\right)}*{\color{green}I\left(b,C\right)}*{\color{green}I\left(C,c\right)}*{\color{red}I\left(c,A\right)}\\ {\color{purple}T\left(c,b,a\right)} & ={\color{green}I\left(c,b\right)}*{\color{blue}I\left(b,a\right)}*{\color{red}I\left(a,c\right)} \end{align*}\]אם \(\Delta\left(A,B,C\right)\subseteq\Omega\) אז:\[ \intop_{T\left(c,b,a\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{T\left(a,b,c\right)}f\left(z\right)dz=\intop_{\tilde{T\left(a,b,c\right)}}f\left(z\right)dz+\intop_{T\left(a,b,c\right)}f\left(z\right)dz=0 \]ולכן גם:\[\begin{align*} \intop_{T\left(A,B,C\right)}f\left(z\right)dz & =\intop_{{\color{purple}T\left(A,B,C\right)}}f\left(z\right)dz+\intop_{{\color{purple}T\left(c,b,a\right)}}f\left(z\right)dz+\intop_{T\left(a,b,c\right)}f\left(z\right)dz\\ & =\intop_{T\left(a,b,c\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{{\color{red}T\left(A,a,c\right)}}f\left(z\right)dz+\intop_{{\color{blue}T\left(a,B,b\right)}}f\left(z\right)dz+\intop_{{\color{green}T\left(b,C,c\right)}}f\left(z\right)dz \end{align*}\]המשולשים \(\Delta\left(a,b,c\right),\Delta\left(A,a,c\right),\Delta\left(a,B,b\right),\Delta\left(b,C,c\right)\) מוגדרים ע"י קטעי האמצעים של המשולש \(\Delta\left(A,B,C\right)\), ולכן הם חופפים זה לזה ודומים למשולש \(\Delta\left(A,B,C\right)\) עם יחס דמיון \(2:1\).
למעשה כל מה שאנחנו נצטרך עבור ההוכחה הוא שאורכי המסילות המקיפות את המשולשים הללו הם חצי מאורך המסילה המקיפה את המשולש המקורי, את זה קל לוודא ישירות מהגדרה ולכן לא מדובר בהוכחה המסתמכת על טענה גאומטרית. - נגדיר סדרת מסילות \(\left(\Delta_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) וסדרת מספרים ממשיים \(\left(I_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) באופן הבא:
- \(\Delta_{1}:=T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\) ו-\(I_{1}:=\left|\intop_{\Delta_{1}}f\left(z\right)dz\right|\).
- לכל \(n\in\MKnatural\) נחלק את המשולש המוגדר ע"י \(\Delta_{n}\) לארבעה משולשים חופפים באופן המפורט לעיל, ונסמן ב-\(\Delta_{n+1}\) את אחת מארבע המסילות הנוצרות מחלוקה זו כך שיתקיים:\[ I_{n+1}:=\left|\intop_{\Delta_{n+1}}f\left(z\right)dz\right|\geq\frac{I_{n}}{4} \]מעיקרון שובך היונים נובע שקיימת לפחות מסילה אחת כזו.
- לכל \(n\in\MKnatural\) נסמן ב-\(\tilde{\Delta_{n}}\) את המשולש הסגור המוגדר ע"י המסילה \(\Delta_{n}\) (כולל פנים המשולש ושפתו) - זוהי קבוצה סגורה וחסומה; מהגדרה מתקיים \(\tilde{\Delta_{n+1}}\subseteq\tilde{\Delta_{n}}\) לכל \(n\in\MKnatural\), ו-\({\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\MKdiam\left(\tilde{\Delta_{n}}\right)=0}\), ומכאן שע"פ הלמה של קנטור קיימת נקודה יחידה \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\({\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\tilde{\Delta_{n}}=\left\{ z_{0}\right\} }\); תהא \(z_{0}\) כנ"ל.
תהא \(\varepsilon:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה כך ש-\(\varepsilon\left(z_{0}\right)=0\) ולכל \(z\in\Omega\) מתקיים4מהיות \(f\) אנליטית ב-\(z_{0}\) נובע שקיימת \(\varepsilon\) כזו.:\[ f\left(z\right)=f\left(z_{0}\right)+f'\left(z_{0}\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)+\varepsilon\left(z\right)\cdot\left(z-z_{0}\right) \]מהמשפט היסודי נובע כי (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[\begin{align*} \frac{I_{1}}{4^{n}}\leq I_{n} & =\left|\intop_{\Delta_{n}}f\left(z\right)dz\right|=\left|{\color{red}\intop_{\Delta_{n}}f\left(z_{0}\right)dz+\intop_{\Delta_{n}}f'\left(z_{0}\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)dz}+\intop_{\Delta_{n}}\varepsilon\left(z\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)dz\right|\\ & =\left|{\color{red}0+0}+\intop_{\Delta_{n}}\mathcal{S}_{f,z_{0}}\left(z\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)dz\right|\leq\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|\varepsilon\left(z\right)\right|\cdot\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|z-z_{0}\right|\cdot L\left(\Delta_{n}\right)\\ & =\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|\varepsilon\left(z\right)\right|\cdot\left(L\left(\Delta_{n}\right)\right)^{2}=\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|\varepsilon\left(z\right)\right|\cdot\left(\frac{L\left(\Delta_{1}\right)}{2^{n}}\right)^{2}=\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|\varepsilon\left(z\right)\right|\cdot\frac{\left(L\left(\Delta_{1}\right)\right)^{2}}{4^{n}} \end{align*}\]וממילא גם:\[ \left|\intop_{\Delta_{1}}f\left(z\right)dz\right|=I_{1}\leq\left(L\left(\Delta_{1}\right)\right)^{2}\cdot\max_{z\in\Delta_{n}^{*}}\left|\varepsilon\left(z\right)\right|\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0 \]ומכאן ש-\(\intop_{\Delta_{1}}f\left(z\right)dz=\left|\intop_{\Delta_{1}}f\left(z\right)dz\right|=0\).
משפט 1.6. משפט האינטגרל של קושי למשולשים (הגרסה החזקה)
תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה, אם \(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות, אז לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]
תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה, אם \(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות, אז לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\MKcomplex\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]
הוכחה. נניח ש-\(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות, ונסמן ב-\(k\) את מספר הנקודות שבהן \(f\) אינה אנליטית.
כפי שראינו בהוכחת הגרסה החלשה של המשפט, לכל \(n\in\MKnatural\) ניתן להציג את \(\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\) כאינטגרל של של \(f\) לאורך \(4^{n}\) מסילות משולשיות חופפות שאורכן הוא \(\frac{1}{2^{n}}\) מהאורך של \(T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\), ובנוסף כל אחת מ-\(k\) הנקודות הללו יכולה להיות במשולש של \(6\) מסילות כאלה לכל היותר. מהגרסה החלשה של המשפט נובע שהאינטגרל של \(f\) לאורך כל אחת מהמסילות האחרות הוא \(0\) ולכן לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \left|\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\right|\leq6k\cdot M\cdot\frac{1}{2^{n}}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0 \]כאשר \(M:=\max\left\{ \left|f\left(z\right)\right|:z\in\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\right\} \). מכאן שגם במקרה זה מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=\left|\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\right|=0 \]
כפי שראינו בהוכחת הגרסה החלשה של המשפט, לכל \(n\in\MKnatural\) ניתן להציג את \(\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\) כאינטגרל של של \(f\) לאורך \(4^{n}\) מסילות משולשיות חופפות שאורכן הוא \(\frac{1}{2^{n}}\) מהאורך של \(T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\), ובנוסף כל אחת מ-\(k\) הנקודות הללו יכולה להיות במשולש של \(6\) מסילות כאלה לכל היותר. מהגרסה החלשה של המשפט נובע שהאינטגרל של \(f\) לאורך כל אחת מהמסילות האחרות הוא \(0\) ולכן לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \left|\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\right|\leq6k\cdot M\cdot\frac{1}{2^{n}}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0 \]כאשר \(M:=\max\left\{ \left|f\left(z\right)\right|:z\in\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\right\} \). מכאן שגם במקרה זה מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=\left|\intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz\right|=0 \]
למה 1.7. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום כוכבי ביחס לנקודה \(z_{0}\in\Omega\), לכל \(z_{1},z_{2}\in\Omega\) כך שתמונת המסילה \(I\left(z_{1},z_{2}\right)\) מוכלת ב-\(\Omega\) גם \(\Delta\left(z_{0},z_{1},z_{2}\right)\subseteq\Omega\).
משפט 1.8. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום כוכבי ביחס לנקודה \(z_{0}\in\Omega\), תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה, ותהא \(F:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה המוגדרת ע"י(לכל \(w\in\Omega\)):\[
F\left(w\right):=\intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz
\]אם \(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות, אז לכל \(w\in\Omega\) מתקיים \(F'\left(w\right)=f\left(w\right)\); כלומר \(F\) אנליטית על \(\Omega\) והיא קדומה של \(f\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות, יהי \(w_{0}\in\Omega\), ויהי \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(w_{0}\right)\subseteq\Omega\).
ע"פ הלמה (1.3) לכל \(w\in B_{r}\left(w_{0}\right)\) מתקיים \(\Delta\left(z_{0},w,w_{0}\right)\subseteq\Omega\), ולכן ממשפט האינטגרל של קושי נובע כי:\[ \intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w_{0},z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=\intop_{T\left(z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]ולכן גם:\[ \intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz-\intop_{I\left(z_{0},w_{0}\right)}f\left(z\right)dz=\intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w_{0},z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=-\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz \]וממילא:\[\begin{align*} \frac{F\left(w\right)-F\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}} & =\frac{\intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz-\intop_{I\left(z_{0},w_{0}\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}\\ & =\frac{-\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}=\frac{\intop_{I\left(w_{0},w\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}\\ & =\frac{\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)\cdot\left(w-w_{0}\right)dt}{w-w_{0}}\\ & =\frac{\left(w-w_{0}\right)\cdot\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)dt}{w-w_{0}}\\ & =\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)dt\\ & =\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}\right)dt+\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\\ & =f\left(w_{0}\right)+\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt \end{align*}\]מהיות \(f\) רציפה נובע כי:\[ \lim_{t\rightarrow0}\left|f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)\right|=0 \]ולכן גם:\[ \left|\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\right|\leq\max_{t\in\left[0,1\right]}\left|f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)\right|\xrightarrow[w\rightarrow w_{0}]{}0 \]\[ \Rightarrow F'\left(w_{0}\right)=\lim_{w\rightarrow w_{0}}\frac{F\left(w\right)-F\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}=f\left(w_{0}\right)+\lim_{w\rightarrow w_{0}}\left(\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\right)=f\left(w_{0}\right) \]
ע"פ הלמה (1.3) לכל \(w\in B_{r}\left(w_{0}\right)\) מתקיים \(\Delta\left(z_{0},w,w_{0}\right)\subseteq\Omega\), ולכן ממשפט האינטגרל של קושי נובע כי:\[ \intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w_{0},z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=\intop_{T\left(z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]ולכן גם:\[ \intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz-\intop_{I\left(z_{0},w_{0}\right)}f\left(z\right)dz=\intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz+\intop_{I\left(w_{0},z_{0}\right)}f\left(z\right)dz=-\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz \]וממילא:\[\begin{align*} \frac{F\left(w\right)-F\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}} & =\frac{\intop_{I\left(z_{0},w\right)}f\left(z\right)dz-\intop_{I\left(z_{0},w_{0}\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}\\ & =\frac{-\intop_{I\left(w,w_{0}\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}=\frac{\intop_{I\left(w_{0},w\right)}f\left(z\right)dz}{w-w_{0}}\\ & =\frac{\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)\cdot\left(w-w_{0}\right)dt}{w-w_{0}}\\ & =\frac{\left(w-w_{0}\right)\cdot\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)dt}{w-w_{0}}\\ & =\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)dt\\ & =\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}\right)dt+\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\\ & =f\left(w_{0}\right)+\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt \end{align*}\]מהיות \(f\) רציפה נובע כי:\[ \lim_{t\rightarrow0}\left|f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)\right|=0 \]ולכן גם:\[ \left|\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\right|\leq\max_{t\in\left[0,1\right]}\left|f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)\right|\xrightarrow[w\rightarrow w_{0}]{}0 \]\[ \Rightarrow F'\left(w_{0}\right)=\lim_{w\rightarrow w_{0}}\frac{F\left(w\right)-F\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}=f\left(w_{0}\right)+\lim_{w\rightarrow w_{0}}\left(\intop_{0}^{1}f\left(w_{0}+t\cdot\left(w-w_{0}\right)\right)-f\left(w_{0}\right)dt\right)=f\left(w_{0}\right) \]
מסקנה 1.9. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום כוכבי ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה, אם \(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות אז יש ל-\(f\) קדומה על \(\Omega\). בפרט, לכל מסילה סגורה וגזירה למקוטעין \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) מתקיים:\[
\intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=0
\]
טענה 1.10. לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) מתקיים:\[
\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-z_{0}}\ dz=2\pi i
\]
הוכחה. מהגדרה מתקיים:\[
\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-z_{0}}\ dz=\intop_{0}^{2\pi}\frac{i\cdot e^{i\theta}}{z_{0}+e^{i\theta}-z_{0}}\ d\theta=\intop_{0}^{2\pi}i\ d\theta=2\pi i
\]
מסקנה 1.11. תהא \(f:\MKcomplex^{*}\rightarrow\MKcomplex\) הפונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(z\right):=\frac{1}{z}\) (לכל \(z\in\MKcomplex^{*}\)), ל-\(f\) אין פונקציה קדומה.
טענה 1.12. יהיו \(z_{0}\in\MKcomplex\) ו-\(0<r\in\MKreal\) ויהי \(w\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|w-z_{0}\right|\neq r\), מתקיים:\[
\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz=\begin{cases}
0 & \left|w-z_{0}\right|>r\\
2\pi i & \left|w-z_{0}\right|<r
\end{cases}
\]
הוכחה. \(\:\)
- נניח ש-\(\left|w-z_{0}\right|>r\) ויהי \(0<r'\in\MKreal\) כך ש-\(\left|w-z_{0}\right|>r'>r\), מכאן שתמונת המסילה \(C\left(z_{0},r\right)\) מוכלת ב-\(B_{r'}\left(z_{0}\right)\) והפונקציה \(z\mapsto\frac{1}{z-w}\) אנליטית על \(B_{r'}\left(z_{0}\right)\) שהוא תחום כוכבי. ע"פ המסקנה האחרונה (1.5) מתקיים:\[ \intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz=0 \]
- נניח ש-\(\left|w-z_{0}\right|<r\), מכאן שלכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|z-z_{0}\right|=r\) מתקיים5אנו משתמשים כאן בנוסחה לטור הנדסי מתכנס: לכל \(q\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|q\right|<1\) מתקיים:\[ \frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}q^{n} \]:\[ \frac{z-z_{0}}{z-w}=\left(\frac{z-w}{z-z_{0}}\right)^{-1}=\left(\frac{\left(z-z_{0}\right)-\left(w-z_{0}\right)}{z-z_{0}}\right)^{-1}=\frac{1}{1-\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n} \]ולכן גם:\[ \frac{1}{z-w}=\left(z-z_{0}\right)\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(w-z_{0}\right)^{n-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{n}} \]כמו כל טור הנדסי מתכנס הטור הנ"ל מתכנס במידה שווה ולכן מתקיים:\[ \intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz=\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(w-z_{0}\right)^{n-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{n}}\ dz=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{\left(w-z_{0}\right)^{n-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{n}}\ dz\right) \]לכל \(1<n\in\MKnatural\) לפונקציה \(z\mapsto{\displaystyle \frac{\left(w-z_{0}\right)^{n-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{n}}}\) יש קדומה ב-\(B_{2r}'\left(z_{0}\right)\), ולכן מהמשפט היסודי נובע כי (לכל \(1<n\in\MKnatural\)):\[ \intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{\left(w-z_{0}\right)^{n-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{n}}\ dz=0 \]\[ \Rightarrow\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz=\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{\left(w-z_{0}\right)^{1-1}}{\left(z-z_{0}\right)^{1}}\ dz=\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-z_{0}}\ dz=2\pi i \]
משפט 1.13. נוסחת קושי
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ויהיו \(z_{0}\in\Omega\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\), לכל \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ויהיו \(z_{0}\in\Omega\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\), לכל \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
הוכחה. נסמן:\[
\delta:=\frac{1}{2}\cdot\inf\left\{ \left|z-w\right|:z\in\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right),\ w\in\MKcomplex\setminus\Omega\right\}
\]מהגדרה \(\delta>0\) משום שאחרת לכל \(n\in\MKnatural\) קיימים \(z_{n}\in\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\) ו-\(w_{n}\in\MKcomplex\setminus\Omega\) כך ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|z_{n}-w_{n}\right|=0\), \(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\) היא קבוצה קומפקטית ולכן לסדרה \(\left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) יש תת-סדרה מתכנסת שגבולה ב-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\), מכאן שלסדרה \(\left(w_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כנ"ל יש תת-סדרה המתכנסת לגבול ב-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\) ומכיוון ש-\(\MKcomplex\setminus\Omega\) סגורה הגבול הזה נמצא בתוכה בסתירה לכך שהגבול שייך ל-\(\Omega\).
יהי \(w\in B_{r+\delta}\left(z_{0}\right)\) ותהא \(\varepsilon:\Omega\rightarrow\MKreal\) הפונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(z\in\Omega\)):\[ \varepsilon\left(z\right):=\begin{cases} \frac{f\left(z\right)-f\left(w\right)}{z-w}-f'\left(w\right) & z\neq w\\ 0 & z=w \end{cases} \]זוהי פונקציה רציפה, והיא אנליטית ב-\(B_{r+\delta}\left(z_{0}\right)\) מלבד (אולי) ב-\(z_{0}\) עצמה, מכאן שע"פ משפט האינטגרל של קושי מתקיים:\[\begin{align*} \frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz & =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(w\right)+f'\left(z_{0}\right)\cdot\left(z-w\right)+\varepsilon\left(z\right)\cdot\left(z-w\right)}{z-w}\ dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(w\right)}{z-w}\ dz+{\color{red}\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f'\left(z_{0}\right)\ dz+\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\varepsilon\left(z\right)dz}\\ & =\frac{f\left(w\right)}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz+{\color{red}0+0}=\frac{f\left(w\right)}{2\pi i}\cdot2\pi i=f\left(w\right) \end{align*}\]
יהי \(w\in B_{r+\delta}\left(z_{0}\right)\) ותהא \(\varepsilon:\Omega\rightarrow\MKreal\) הפונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(z\in\Omega\)):\[ \varepsilon\left(z\right):=\begin{cases} \frac{f\left(z\right)-f\left(w\right)}{z-w}-f'\left(w\right) & z\neq w\\ 0 & z=w \end{cases} \]זוהי פונקציה רציפה, והיא אנליטית ב-\(B_{r+\delta}\left(z_{0}\right)\) מלבד (אולי) ב-\(z_{0}\) עצמה, מכאן שע"פ משפט האינטגרל של קושי מתקיים:\[\begin{align*} \frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz & =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(w\right)+f'\left(z_{0}\right)\cdot\left(z-w\right)+\varepsilon\left(z\right)\cdot\left(z-w\right)}{z-w}\ dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(w\right)}{z-w}\ dz+{\color{red}\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f'\left(z_{0}\right)\ dz+\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\varepsilon\left(z\right)dz}\\ & =\frac{f\left(w\right)}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{1}{z-w}\ dz+{\color{red}0+0}=\frac{f\left(w\right)}{2\pi i}\cdot2\pi i=f\left(w\right) \end{align*}\]
מסקנה 1.14. משפט הערך הממוצע של גאוס
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ויהיו \(z\in\Omega\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z\right)\subseteq\Omega\), מתקיים:\[ f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}f\left(z+r\cdot e^{i\theta}\right)d\theta \]
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ויהיו \(z\in\Omega\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z\right)\subseteq\Omega\), מתקיים:\[ f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}f\left(z+r\cdot e^{i\theta}\right)d\theta \]
מסקנה 1.15. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), ויהיו \(z_{0}\in\Omega\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\). לכל \(n\in\MKnatural_{0}\) ולכל \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[
f^{\left(n\right)}\left(w\right)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz
\]בפרט \(f\) גזירה אין-סוף פעמים (לכל \(n\in\MKnatural\) \(f\) גזירה \(n\) פעמים) וכל הנגזרות שלה אנליטיות על \(B_{r}\left(z_{0}\right)\).
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה; ראינו כבר שהטענה נכונה עבור \(n=0\) (נוסחת קושי), ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
יהי \(n\in\MKnatural_{0}\) ונניח שלכל \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f^{\left(n\right)}\left(w\right)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz \]יהי \(w_{0}\in B_{r}\left(z_{0}\right)\), א"כ לכל \(w_{0}\neq w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[\begin{align*} \frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}} & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz-\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\left(\frac{1}{\left(z-w\right)^{n+1}}-\frac{1}{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\right)\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}-\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\left(z-w_{0}\right)-\left(z-w\right)\right)\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & ={\color{red}\frac{1}{w-w_{0}}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{{\color{red}\left(w-w_{0}\right)}\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz \end{align*}\]ומכאן שגם:\[\begin{align*} & \frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}-\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz\\ = & \frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz \end{align*}\]תהא \(\left(w_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) סדרת נקודות ב-\(B_{r}\left(z_{0}\right)\setminus\left\{ w_{0}\right\} \) המתכנסת ל-\(w_{0}\), ותהא \(\left(g_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) סדרת פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(m\in\MKnatural\) ולכל \(z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)\)):\[ g_{m}\left(z\right):=f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}} \]נסמן:\[ M:=\max_{z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)}\left|\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{2n+3}}\right| \]לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<m\in\MKnatural\), לכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) ולכל \(z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)\) יתקיים6השורה השנייה גוררת את השלישית, וכל הארבע הראשונות גוררות את הא"ש האחרון.:\[\begin{align*} \left|\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{m}\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\right| & <M+1\\ \left|\left(z-w_{m}\right)^{n-k}-\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2n\cdot\left(M+1\right)}\\ \left|\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2\cdot\left(M+1\right)}\\ \left|\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2\cdot\left(M+1\right)} \end{align*}\]\[\begin{align*} \left|g_{m}\left(z\right)\right| & =\left|f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\right|\\ & <\frac{\varepsilon}{M+1}\cdot\left(M+1\right)=\varepsilon \end{align*}\]מכאן ש-\(\left(g_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) מתכנסת במ"ש לפונקציית האפס ולכן:\[\begin{align*} & \lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{f^{\left(n\right)}\left(w_{m}\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w_{m}-w_{0}}-\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz\right)\\ = & \lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g_{m}\left(z\right)dz\right)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\lim_{m\rightarrow\infty}\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g_{m}\left(z\right)dz\\ = & \frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}0\ dz=0 \end{align*}\]\(\left(w_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) הייתה סדרה שרירותית ולכן הנ"ל נכון לכל סדרה ב-\(B_{r}\left(z_{0}\right)\setminus\left\{ w_{0}\right\} \) המתכנסת ל-\(w_{0}\), מאפיון היינה לגבול של פונקציה בנקודה נובע כי:\[ f^{\left(n+1\right)}\left(w_{0}\right)=\lim_{w\rightarrow w_{0}}\frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}=\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz \]
יהי \(n\in\MKnatural_{0}\) ונניח שלכל \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f^{\left(n\right)}\left(w\right)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz \]יהי \(w_{0}\in B_{r}\left(z_{0}\right)\), א"כ לכל \(w_{0}\neq w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[\begin{align*} \frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}} & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz-\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\left(\frac{1}{\left(z-w\right)^{n+1}}-\frac{1}{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\right)\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(z-w_{0}\right)^{n+1}-\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{1}{w-w_{0}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\left(z-w_{0}\right)-\left(z-w\right)\right)\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & ={\color{red}\frac{1}{w-w_{0}}}\cdot\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{{\color{red}\left(w-w_{0}\right)}\cdot\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz\\ & =\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+1}}\ dz \end{align*}\]ומכאן שגם:\[\begin{align*} & \frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}-\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz\\ = & \frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz \end{align*}\]תהא \(\left(w_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) סדרת נקודות ב-\(B_{r}\left(z_{0}\right)\setminus\left\{ w_{0}\right\} \) המתכנסת ל-\(w_{0}\), ותהא \(\left(g_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) סדרת פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(m\in\MKnatural\) ולכל \(z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)\)):\[ g_{m}\left(z\right):=f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}} \]נסמן:\[ M:=\max_{z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)}\left|\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{2n+3}}\right| \]לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<m\in\MKnatural\), לכל \(n\geq k\in\MKnatural_{0}\) ולכל \(z\in\partial B_{r}\left(z_{0}\right)\) יתקיים6השורה השנייה גוררת את השלישית, וכל הארבע הראשונות גוררות את הא"ש האחרון.:\[\begin{align*} \left|\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{m}\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\right| & <M+1\\ \left|\left(z-w_{m}\right)^{n-k}-\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2n\cdot\left(M+1\right)}\\ \left|\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2\cdot\left(M+1\right)}\\ \left|\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w_{0}\right)^{n-k}\right| & <\frac{\varepsilon}{2\cdot\left(M+1\right)} \end{align*}\]\[\begin{align*} \left|g_{m}\left(z\right)\right| & =\left|f\left(z\right)\cdot\frac{\left(\sum_{k=0}^{n}\left(z-w_{0}\right)^{k+1}\cdot\left(z-w\right)^{n-k}\right)-\left(n+1\right)\cdot\left(z-w\right)^{n+1}}{\left(z-w\right)^{n+1}\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\right|\\ & <\frac{\varepsilon}{M+1}\cdot\left(M+1\right)=\varepsilon \end{align*}\]מכאן ש-\(\left(g_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) מתכנסת במ"ש לפונקציית האפס ולכן:\[\begin{align*} & \lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{f^{\left(n\right)}\left(w_{m}\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w_{m}-w_{0}}-\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz\right)\\ = & \lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g_{m}\left(z\right)dz\right)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\lim_{m\rightarrow\infty}\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g_{m}\left(z\right)dz\\ = & \frac{n!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}0\ dz=0 \end{align*}\]\(\left(w_{m}\right)_{m=1}^{\infty}\) הייתה סדרה שרירותית ולכן הנ"ל נכון לכל סדרה ב-\(B_{r}\left(z_{0}\right)\setminus\left\{ w_{0}\right\} \) המתכנסת ל-\(w_{0}\), מאפיון היינה לגבול של פונקציה בנקודה נובע כי:\[ f^{\left(n+1\right)}\left(w_{0}\right)=\lim_{w\rightarrow w_{0}}\frac{f^{\left(n\right)}\left(w\right)-f^{\left(n\right)}\left(w_{0}\right)}{w-w_{0}}=\frac{\left(n+1\right)!}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w_{0}\right)^{n+2}}\ dz \]
מסקנה 1.16. תהא \(f\) פונקציה המוגדרת על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם יש ל-\(f\) פונקציה קדומה ב-\(\Omega\) אז \(f\) אנליטית על \(\Omega\).
1.3 המסקנות מנוסחת קושי
משפט 1.17. משפט מוררה (Morera)7ערך בוויקיפדיה האנגלית Giacinto Morera.
תהא \(f\) פונקציה רציפה על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\Omega\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]אז \(f\) אנליטית על \(\Omega\).
תהא \(f\) פונקציה רציפה על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם לכל \(z_{1},z_{2},z_{3}\in\Omega\) כך ש-\(\Delta\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\subseteq\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{T\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)}f\left(z\right)dz=0 \]אז \(f\) אנליטית על \(\Omega\).
הוכחה. במשפט 1.4 אמנם דרשנו ש-\(f\) תהיה אנליטית וש-\(\Omega\) יהיה תחום כוכבי, אך למעשה השתמשנו רק בעובדה ש-\(f\) רציפה ומקיימת את משפט האינטגרל של קושי על תחום כוכבי. משפט מוררה דורש בדיוק את הדרישות הללו עבור \(\Omega\) שאינו בהכרח תחום כוכבי ו/או קשיר, מכאן שעבור כל תחום כוכבי \(\Omega'\subseteq\Omega\) יש ל-\(f\) פונקציה קדומה ב-\(\Omega'\). בפרט לכל \(z\in\Omega\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) ל-\(f\) יש קדומה ב-\(B_{r}\left(z\right)\), ומכאן שע"פ מסקנה 1.12 \(f\) אנליטית בכל נקודה \(z\in\Omega\), כלומר \(f\) אנליטית על \(\Omega\).
מסקנה 1.18. תהא \(f\) פונקציה רציפה בקבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם \(f\) אנליטית בכל נקודה ב-\(\Omega\) מלבד מספר סופי של נקודות אז \(f\) אנליטית על \(\Omega\).
מסקנה 1.19. תהא \(f\) פונקציה רציפה על תחום פשוט קשר אנליטית \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), \(f\) אנליטית ב-\(\Omega\) אם"ם לכל מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין \(\gamma:I\rightarrow\Omega\) מתקיים:\[
\intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=0
\]
מסקנה 1.20. תהא \(\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) המתכנסת במ"ש לפונקציה \(f\) בכל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\). \(f\) אנליטית על \(\Omega\) ולכל \(z\in\Omega\) ו-\(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
f^{\left(k\right)}\left(z\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}{}^{\left(k\right)}\left(z\right)
\]וסדרת הנגזרות \(\left(f_{n}{}^{\left(k\right)}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת במ"ש ל-\(f^{\left(k\right)}\) על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\).
באופן דומה, יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\left(z\right)\) טור פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) המתכנס במ"ש לפונקציה \(S\) בכל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\). \(S\) אנליטית על \(\Omega\) ולכל \(z\in\Omega\) ו-\(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[ \left(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\left(z\right)\right)^{\left(k\right)}=S^{\left(k\right)}\left(z\right)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}{}^{\left(k\right)}\left(z\right) \]ו-\({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}{}^{\left(k\right)}\left(z\right)}\) מתכנס במ"ש ל-\(S^{\left(k\right)}\) על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\).
באופן דומה, יהי \(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\left(z\right)\) טור פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) המתכנס במ"ש לפונקציה \(S\) בכל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\). \(S\) אנליטית על \(\Omega\) ולכל \(z\in\Omega\) ו-\(k\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[ \left(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\left(z\right)\right)^{\left(k\right)}=S^{\left(k\right)}\left(z\right)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}{}^{\left(k\right)}\left(z\right) \]ו-\({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}{}^{\left(k\right)}\left(z\right)}\) מתכנס במ"ש ל-\(S^{\left(k\right)}\) על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(\Omega\).
- \(\clubsuit\)
- המשפט האחרון חזק הרבה יותר מהמשפט המקביל לו בממשיים שבו דרשנו מראש ש-\(\left(f_{n}'\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת במ"ש, הסיבה לכך היא שבעוד שבממשיים הנגזרת יכולה "להשתולל" גם אם הפונקציה המקורית חסומה ואפילו שואפת ל-\(0\) באין-סוף, במרוכבים דרישת הגזירות חזקה הרבה יותר וכפי שכבר ראינו כל פונקציה אנליטית גזירה אין-סוף פעמים והנגזרות שלה נקבעות באופן מפורש לפי ערכיה.
- \(\clubsuit\)
- בגלל היותו של המשפט האחרון חזק כל כך נקבל תוצאה שנבצר ממנו לקבל בממשיים: כל פונקציה גזירה בסביבה של נקודה ניתנת לפיתוח לטור חזקות סביב אותה נקודה!8זו הסיבה שמראש קראנו לפונקציה כזו אנליטית בנקודה.
- \(\clubsuit\)
- ניתן להחליף את \(n\) בכל מספר \(0<d\in\MKreal\) ואז הדרגה של \(f\) קטנה או שווה ל-\(\left\lfloor d\right\rfloor \).
- \(\clubsuit\)
- בפרט עבור פולינום \(p\in\MKcomplex\left[z\right]\), לכל שורש \(z_{0}\in\MKcomplex\) של \(p\) יש ל-\(p\) אפס מסדר \(n\) ב-\(z_{0}\) כאשר \(n\) הוא הריבוי של השורש \(z_{0}\).
משפט 1.21. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), תהא \(z_{0}\in\Omega\) ויהי \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\).
לכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)}{n!}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]וההתכנסות של טור זה ל-\(f\) היא בהחלט במ"ש על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(B_{r}\left(z_{0}\right)\).
לכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[ f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)}{n!}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]וההתכנסות של טור זה ל-\(f\) היא בהחלט במ"ש על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(B_{r}\left(z_{0}\right)\).
הוכחה. יהי \(w\in B_{r}\left(z_{0}\right)\), ע"פ נוסחת קושי מתקיים:\[\begin{align*}
f\left(w\right) & =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)-\left(w-z_{0}\right)}\ dz\\
& =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}}\ dz=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\ dz\\
& =\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\ dz
\end{align*}\]נסמן \(M:=\max\left\{ \left|f\left(z\right)\right|:z\in\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\right\} \), מכאן שלכל \(z\in B_{r}\left(z\right)\) וכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
\left|\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\right|\leq\frac{M}{r}\cdot\frac{\left|w-z_{0}\right|^{n}}{r^{n}}
\]כלומר איברי הטור \({\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\ dz}\) חסומים ע"י האיברים של טור הנדסי מתכנס, ולכן ממשפט ה-\(M\) של ויירשטראס הוא מתכנס בהחלט במ"ש.\[
\Rightarrow f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}\cdot\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\ dz=\sum_{n=0}^{\infty}\left(w-z_{0}\right)^{n}\cdot\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\ dz
\]ולכן מנוסחת קושי לנגזרות נקבל:\[
f\left(w\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)}{n!}\cdot\left(w-z_{0}\right)^{n}
\]
טענה 1.22. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), לכל \(z\in\Omega\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(z\right)\subseteq\Omega\) מתקיים (לכל \(n\in\MKnatural_{0}\)):\[
\left|f^{\left(n\right)}\left(z\right)\right|\leq\frac{n!}{r^{n}}\cdot\max_{\theta\in\left[0,2\pi\right]}\left|f\left(z+r\cdot e^{i\theta}\right)\right|
\]
משפט 1.24. תהא \(f\) פונקציה שלמה, אם קיימים \(C\in\MKreal\) ו-\(n\in\MKnatural\) המקיימים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq C\cdot\left(\left|z\right|^{n}+1\right)\) לכל \(z\in\MKcomplex\) אז \(f\) היא פונקציה פולינומיאלית שדרגתה היא \(n\) לכל היותר.
משפט 1.25. המשפט היסודי של האלגברה
לכל פולינום ב-\(\MKcomplex\left[z\right]\) שאינו קבוע יש שורש מרוכב.
לכל פולינום ב-\(\MKcomplex\left[z\right]\) שאינו קבוע יש שורש מרוכב.
מסקנה 1.26. יהי \(p\in\MKcomplex\left[z\right]\) פולינום ונסמן \(n:=\deg p\), קיימים \(z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}\in\MKcomplex\) כך שמתקיים:\[
p\left(z\right)=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\ldots\left(z-z_{n}\right)
\]
למה 1.27. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ויהי \(n\in\MKnatural\), ל-\(f\) יש אפס מסדר \(n\in\MKnatural\) בנקודה \(z_{0}\in\Omega\) אם"ם קיים \(0<r\in\MKreal\) וקיימת פונקציה אנליטית \(g:B_{r}\left(z_{0}\right)\rightarrow\MKcomplex\) כך ש-\(g\left(z_{0}\right)\neq0\) ו-\(f\left(z\right)=g\left(z\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n}\) לכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\).
משפט 1.28. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית, אם \(f\) אינה פונקציית האפס אז לכל \(z\in Z\left(f\right)\) יש ל-\(f\) אפס מסדר סופי ב-\(z\)10קיים \(n\in\MKnatural\) כך שיש ל-\(f\) אפס מסדר \(n\) ב-\(z\)..
מסקנה 1.29. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית, אם \(f\) אינה פונקציית האפס אז ל-\(Z\left(f\right)\) אין נקודות הצטברות ב-\(\Omega\).
מסקנה 1.30. משפט היחידות
תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם לקבוצה \(\left\{ z\in\Omega\mid f\left(z\right)=g\left(z\right)\right\} \) יש נקודת הצטברות ב-\(\Omega\) אז \(f\left(z\right)=g\left(z\right)\) לכל \(z\in\Omega\).
תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם לקבוצה \(\left\{ z\in\Omega\mid f\left(z\right)=g\left(z\right)\right\} \) יש נקודת הצטברות ב-\(\Omega\) אז \(f\left(z\right)=g\left(z\right)\) לכל \(z\in\Omega\).
משפט 1.31. עקרון המקסימום
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
- אם ל-\(f\) יש מקסימום מקומי חלש אז \(f\) קבועה.
- אם \(f\) לא קבועה אז \(\left|f\right|\) אינה מקבלת מקסימום ב-\(\Omega\).
- אם \(\Omega\) חסום ו-\(f\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) אז \(\left|\bar{f}\right|\)11\(\bar{f}\) היא ההרחבה הרציפה של \(f\) ל-\(\overline{\Omega}\) ו-\(\left|\bar{f}\right|\) היא הפונקציה המתקבלת ע"י הרכבת הערך המוחלט על \(\bar{f}\). מקבלת מקסימום על \(\partial\Omega\).
מסקנה 1.32. עקרון המינימום
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
- אם \(f\) אינה מתאפסת באף נקודה ב-\(\Omega\) ויש לה מינימום מקומי חלש אז \(f\) קבועה.
- אם ל-\(f\) יש מינימום מקומי חלש והיא אינה קבועה אז קיימת נקודה ב-\(\Omega\) שבה \(f\) מתאפסת.
כמו כן אם \(f\) אינה מתאפסת באף נקודה ב-\(\Omega\) והיא אינה קבועה אז \(\left|f\right|\) אינה מקבלת מינימום ב-\(\Omega\). - אם \(\Omega\) חסום ו-\(f\) פונקציה הניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) אז \(\left|\bar{f}\right|\) מקבלת מינימום על \(\partial\Omega\) ו/או קיימת נקודה ב-\(\Omega\) שבה \(f\) מתאפסת.
מסקנה 1.33. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) שאינה קבועה וניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\), אם קיים \(z\in\Omega\) כך שלכל \(w\in\partial\Omega\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq\left|\bar{f}\left(w\right)\right|\) אז קיימת נקודה ב-\(\Omega\) שבה \(f\) מתאפסת.
משפט 1.34. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), אם \(f\) אינה קבועה אז ל-\(\MKre f\) ול-\(\MKim f\) אין מקסימום מקומי חלש ב-\(\Omega\).
משפט 1.35. עקרון Phragmén–Lindelöf12ערכים בוויקיפדיה האנגלית: Lars Edvard Phragmén ו-Ernst Leonard Lindelöf.
נסמן \(\Omega:=\left\{ z\in\MKcomplex:\left|\MKre\left(z\right)\right|<\frac{1}{2}\right\} \) ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(\Omega\) הניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) ומקיימת \(\left|f\left(\pm\frac{1}{2}+iy\right)\right|\leq1\) לכל \(y\in\MKreal\). אם קיים \(M\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq M\) אז \(\left|f\left(z\right)\right|\leq1\) לכל \(z\in\Omega\).
נסמן \(\Omega:=\left\{ z\in\MKcomplex:\left|\MKre\left(z\right)\right|<\frac{1}{2}\right\} \) ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(\Omega\) הניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) ומקיימת \(\left|f\left(\pm\frac{1}{2}+iy\right)\right|\leq1\) לכל \(y\in\MKreal\). אם קיים \(M\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq M\) אז \(\left|f\left(z\right)\right|\leq1\) לכל \(z\in\Omega\).
\(\:\)
2 לוגריתמים וארגומנטים
2.1 הגדרות
יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\).
- \(\clubsuit\)
- החיסרון שביכולת לקבוע מהו הארגומנט של נקודה במישור המרוכב באופן רציף מהווה יתרון בתחום אחר: בהינתן מסילה סגורה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) ונקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\) שאינה בתמונה של \(\gamma\) היינו רוצים להגדיר את מספר הפעמים ש-\(\gamma\) "מקיפה" את \(z_{0}\), ראינו בקובץ הטענות שלמסילה \(\gamma-z_{0}\) יש ארגומנט רציף ולכן נוכל להשתמש בו כדי לקבוע את מספר הסיבובים - הערכים שהארגומנט מחזיר עבור \(a\) ו-\(b\) צריכים לייצג את אותה זווית (כי \(\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)\)) ולכן ההפרש ביניהם צריך להיות כפולה שלמה של \(2\pi\)! כדי להבין מדוע אותה כפולה של \(2\pi\) היא מספר הסיבובים המבוקש נניח ש-\(z_{0}=0\), הארגומנט מחזיר ערכים עבור נקודות ב-\(\left[a,b\right]\), כאשר \(\gamma\) מסתובבת נגד כיוון השעון הערכים הולכים וגדלים ואם פתאום תחזור \(\gamma\) בכיוון ההפוך הם ילכו ויקטנו; אבל מתי הארגומנט יחזיר את \(2\pi\)? בדיוק כאשר נגיע לנקודה שנמצאת על אותה קרן שמכילה את \(\gamma\left(a\right)\) ולאחר שסיימנו הקפה שלמה סביב הראשית.
- \(\clubsuit\)
- הומוטופיות הוא יחס שקילות.
- \(\clubsuit\)
- הדרך הכי פשוטה לבנות הומוטופיה על שתי מסילות היא ע"י (לכל \(\left(s,t\right)\in\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\)):\[ H\left(s,t\right):=\left(1-s\right)\cdot\gamma_{0}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{0}+t\cdot b_{0}\right)+s\cdot\gamma_{1}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{1}+t\cdot b_{1}\right) \]
- \(\clubsuit\)
- מבחינה אינטואיטיבית זה אומר שאין ב-\(\Omega\) "חורים" - אם יש נקודה שאינה ב-\(\Omega\) ו-\(\Omega\) "מקיף" אותה אז יש ב-\(\Omega\) מסילה שמקיפה את אותה נקודה, ומסילה כזו אינה ניתנת ל"כיווץ" לכדי נקודה.
- \(\clubsuit\)
- זהו מונח לא סטנדרטי אך הוא יהיה שימושי ובקובץ הטענות אנחנו נראה שכל תחום פשוט קשר (טופולוגית) הוא תחום פשוט קשר אנליטית, ונזכיר שגם הכיוון ההפוך נכון אך לא נוכיח זאת.
- \(\clubsuit\)
- הפונקציה \(\frac{f'}{f}\) נקראת הנגזרת הלוגריתמית של \(f\).
- \(\clubsuit\)
- כפי שראינו הקיום של פונקציה קדומה ל-\(\frac{f'}{f}\) שקול לכך שלכל מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין \(\gamma:I\rightarrow\Omega\) מתקיים:\[ \intop_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}\ dz=0 \]
משפט. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\) ויהיו \(\theta_{1}\) ו-\(\theta_{2}\) ארגומנטים רציפים של המסילה \(\gamma-z_{0}\).\[
\Rightarrow\frac{\theta_{1}\left(b\right)-\theta_{1}\left(a\right)}{2\pi}=\frac{\theta_{2}\left(b\right)-\theta_{2}\left(a\right)}{2\pi}\in\MKinteger
\]
הגדרה 2.1. אינדקס של מסילה סביב נקודה
תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, האינדקס של \(\gamma\) סביב נקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\) הוא:\[ \MKind\left(\gamma,z_{0}\right):=n\left(\gamma,z_{0}\right):=\frac{\theta\left(b\right)-\theta\left(a\right)}{2\pi} \]כאשר \(\theta\) הוא ארגומנט רציף של המסילה \(\gamma-z_{0}\).
תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, האינדקס של \(\gamma\) סביב נקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\) הוא:\[ \MKind\left(\gamma,z_{0}\right):=n\left(\gamma,z_{0}\right):=\frac{\theta\left(b\right)-\theta\left(a\right)}{2\pi} \]כאשר \(\theta\) הוא ארגומנט רציף של המסילה \(\gamma-z_{0}\).
הגדרה 2.2. הומוטופיה
תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה, יהיו \(a_{0},b_{0},a_{1},b_{1}\) כך ש-\(a_{0}<b_{0}\) ו-\(a_{1}<b_{1}\), ותהיינה \(\gamma_{0}:\left[a_{0},b_{0}\right]\rightarrow\Omega\) ו-\(\gamma_{1}:\left[a_{1},b_{1}\right]\rightarrow\Omega\) מסילות סגורות.
נאמר ש-\(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) הומוטופיות ב-\(\Omega\) אם קיימת פונקציה רציפה \(H:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow\Omega\) (שתיקרא הומוטופיה), כך שלכל \(s,t\in\left[0,1\right]\) מתקיים:\[\begin{align*} H\left(s,0\right) & =H\left(s,1\right)\\ H\left(0,t\right) & =\gamma_{0}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{0}+t\cdot b_{0}\right)\\ H\left(1,t\right) & =\gamma_{1}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{1}+t\cdot b_{1}\right) \end{align*}\]כלומר לכל \(s\in\left[0,1\right]\) הפונקציה \(t\mapsto H\left(s,t\right)\) היא מסילה סגורה, ובנוסף הפונקציות \(t\mapsto H\left(0,t\right)\) ו-\(t\mapsto H\left(1,t\right)\) הן \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) בהתאמה.
תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה, יהיו \(a_{0},b_{0},a_{1},b_{1}\) כך ש-\(a_{0}<b_{0}\) ו-\(a_{1}<b_{1}\), ותהיינה \(\gamma_{0}:\left[a_{0},b_{0}\right]\rightarrow\Omega\) ו-\(\gamma_{1}:\left[a_{1},b_{1}\right]\rightarrow\Omega\) מסילות סגורות.
נאמר ש-\(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) הומוטופיות ב-\(\Omega\) אם קיימת פונקציה רציפה \(H:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow\Omega\) (שתיקרא הומוטופיה), כך שלכל \(s,t\in\left[0,1\right]\) מתקיים:\[\begin{align*} H\left(s,0\right) & =H\left(s,1\right)\\ H\left(0,t\right) & =\gamma_{0}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{0}+t\cdot b_{0}\right)\\ H\left(1,t\right) & =\gamma_{1}\left(\left(1-t\right)\cdot a_{1}+t\cdot b_{1}\right) \end{align*}\]כלומר לכל \(s\in\left[0,1\right]\) הפונקציה \(t\mapsto H\left(s,t\right)\) היא מסילה סגורה, ובנוסף הפונקציות \(t\mapsto H\left(0,t\right)\) ו-\(t\mapsto H\left(1,t\right)\) הן \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) בהתאמה.
הגדרה 2.3. תחום פשוט קשר (טופולוגית)
נאמר שתחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) הוא פשוט קשר אם כל מסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) הומוטופית ב-\(\Omega\) למסילה קבועה.
נאמר שתחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) הוא פשוט קשר אם כל מסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) הומוטופית ב-\(\Omega\) למסילה קבועה.
הגדרה 2.4. תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ייקרא פשוט קשר אנליטית אם לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) יש קדומה.
טענה 2.5. תהא \(f\) פונקציה רציפה; אם פונקציה \(g\) היא לוגריתם רציף של \(f\) אז \(\MKim g\) היא ארגומנט רציף של \(f\), ואם פונקציה \(\theta\) היא ארגומנט רציף של \(f\) אז \(\ln\left|f\right|+i\theta\) היא לוגריתם רציף של \(f\).
מסקנה 2.6. לפונקציה רציפה יש לוגריתם רציף אם"ם יש לה ארגומנט רציף.
טענה 2.7. תהא \(A\subseteq\MKcomplex\) קבוצה קשירה ותהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה בעלת לוגריתמים רציפים \(g_{1}\) ו-\(g_{2}\) ובעלת ארגומנטים רציפים \(\theta_{1}\) ו-\(\theta_{2}\). קיימים \(l,k\in\MKinteger\) כך שלכל \(z\in A\) מתקיים \(g_{1}\left(z\right)-g_{2}\left(z\right)=2\pi ik\) ו-\(\theta_{1}\left(z\right)-\theta_{2}\left(z\right)=2\pi l\).
טענה 2.8. תהא \(A\subseteq\MKcomplex\) קבוצה קשירה ותהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה בעלת לוגריתם רציף \(g\) ובעלת ארגומנט רציף \(\theta\), לכל \(z,w\in A\) מתקיים:\[
g\left(z\right)-g\left(w\right)=\left(\ln\left|f\left(z\right)\right|-\ln\left|f\left(w\right)\right|\right)+i\cdot\left(\theta\left(z\right)-\theta\left(w\right)\right)
\]
משפט 2.9. לכל קטע סגור \(I\subseteq\MKreal\) ולכל מסילה \(\gamma:I\rightarrow\MKcomplex^{*}\)13אנו מסתכלים כאן על \(\MKreal\) כתת-קבוצה של \(\MKcomplex\) ולכן ניתן להתבונן ב-\(\gamma\) כפונקציה מרוכבת. יש לוגריתם רציף (וממילא גם ארגומנט רציף).
משפט 2.10. תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה אנליטית, כל לוגריתם רציף של \(f\) הוא לוגריתם אנליטי שלה (וכמובן שגם ההפך נכון).
משפט 2.11. תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex^{*}\) פונקציה אנליטית, ל-\(f\) יש לוגריתם רציף (אנליטי) אם"ם לפונקציה \(\frac{f'}{f}\) יש קדומה ב-\(\Omega\).
מסקנה 2.12. לכל פונקציה אנליטית על תחום פשוט קשר אנליטית שאינה מתאפסת בתחום זה יש לוגריתם רציף (אנליטי).
\(\:\)
3 אינדקסים של מסילות
3.1 הגדרות
הגדרה 3.1. נאמר שקבוצה \(S\subseteq\MKcomplex\) היא קבוצה כוכבית אם קיים \(z\in S\) כך שלכל \(w\in S\) התמונה של המסילה \(I\left(w,z\right)\) מוכלת ב-\(S\), ובמקרה כזה נאמר ש-\(S\) כוכבית ביחס ל-\(z\).
הגדרה 3.2. נקודת הצטברות
נאמר שנקודה \(z\in\MKcomplex\) היא נקודת הצטברות של קבוצה \(A\subseteq\MKcomplex\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת נקודה \(a\in A\) כך ש-\(a\in B_{\varepsilon}\left(z\right)\).
נאמר שנקודה \(z\in\MKcomplex\) היא נקודת הצטברות של קבוצה \(A\subseteq\MKcomplex\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת נקודה \(a\in A\) כך ש-\(a\in B_{\varepsilon}\left(z\right)\).
טענה. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) שאינה פונקציית האפס, לכל \(z\in\Omega\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(f^{\left(n\right)}\left(z\right)\neq0\).
הגדרה 3.3. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) שאינה פונקציית האפס. נאמר של-\(f\) יש אפס מסדר \(n\in\MKnatural\) בנקודה \(z\in\Omega\) אם \(f^{\left(n\right)}\left(z\right)\neq0\) ולכל \(n>k\in\MKnatural\) מתקיים \(f^{\left(k\right)}\left(z\right)=0\), כמו כן נאמר של-\(f\) יש אפס פשוט בנקודה \(z\in\Omega\) אם יש לה אפס מסדר \(1\) ב-\(z\).
הגדרה 3.4. קבוצת האפסים של פונקציה
לכל פונקציה \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) נסמן \(Z\left(f\right):=\left\{ z\in\Omega:f\left(z\right)=0\right\} \) ונקרא ל-\(Z\left(f\right)\) קבוצת האפסים של \(f\).
לכל פונקציה \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) נסמן \(Z\left(f\right):=\left\{ z\in\Omega:f\left(z\right)=0\right\} \) ונקרא ל-\(Z\left(f\right)\) קבוצת האפסים של \(f\).
הגדרה 3.5. הרחבה רציפה של פונקציה
תהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה ותהא \(\Omega\subseteq A\) תת-קבוצה חסומה, נאמר ש-\(f\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) אם קיימת פונקציה רציפה \(\bar{f}:\overline{\Omega}\rightarrow\MKcomplex\) כך שלכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(\bar{f}\left(z\right)=f\left(z\right)\).
תהא \(f:A\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה ותהא \(\Omega\subseteq A\) תת-קבוצה חסומה, נאמר ש-\(f\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) אם קיימת פונקציה רציפה \(\bar{f}:\overline{\Omega}\rightarrow\MKcomplex\) כך שלכל \(z\in\Omega\) מתקיים \(\bar{f}\left(z\right)=f\left(z\right)\).
- \(\clubsuit\)
- אני אסמן ב-\(\overline{f}\) את ההרחבה הרציפה של פונקציה \(f\), אני לא יודע אם זה סימון מקובל או לא.
- \(\clubsuit\)
- הקשר להולכת כלבים הוא כזה: נניח שאתם מוציאים את הכלב שלכם לטיול, אם לאורך כל הטיול המרחק שלכם מכל עמוד בדרך גדול יותר מאורך הרצועה אז לכל עמוד ברחוב, מספר הפעמים שהקפתם אותו שווה למספר הפעמים שהקיף אותו הכלב. אנלוגיה אחרת למשפט היא שבמהלך כל \(n\) שנים הירח הקיף את השמש בדיוק \(n\) פעמים.
- תזכורת:
- ראינו שלכל מסילה סגורה \(\gamma\), התמונה של \(\gamma^{*}\) היא קבוצה קומפקטית ולכן \(\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) היא קבוצה פתוחה שיש לה רכיב קשירות אחד בדיוק שאינו חסום.
- \(\clubsuit\)
- אילון אמר שגם הכיוון ההפוך נכון אך לא הוכחנו זאת בכיתה, ההוכחה מסתמכת על הטענה הבאה (שכן ראינו בכיתה) ועל משפט ההעתקה של רימן (שלא הוכחנו).
הגדרה 3.6. תהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה. נאמר של-\(f\) יש מקסימום מקומי חלש בנקודה \(z_{0}\in\Omega\) אם קיים \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים \(\left|f\left(z_{0}\right)\right|\geq\left|f\left(z\right)\right|\),
כמו כן נאמר של-\(f\) יש מינימום מקומי חלש בנקודה \(z_{0}\in\Omega\) אם קיים \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים \(\left|f\left(z_{0}\right)\right|\geq\left|f\left(z\right)\right|\).
כמו כן נאמר של-\(f\) יש מינימום מקומי חלש בנקודה \(z_{0}\in\Omega\) אם קיים \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים \(\left|f\left(z_{0}\right)\right|\geq\left|f\left(z\right)\right|\).
יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\).
משפט 3.7. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\)14התמונה של \(\gamma\) היא קבוצה קומפקטית ובפרט חסומה. ויהיו \(\theta_{1}\) ו-\(\theta_{2}\) ארגומנטים רציפים של המסילה \(\gamma-z_{0}\)15ע"פ משפט 2.5 אכן יש ל-\(\gamma-z_{0}\) ארגומנטים רציפים.. מתקיים:\[
\frac{\theta_{1}\left(b\right)-\theta_{1}\left(a\right)}{2\pi}=\frac{\theta_{2}\left(b\right)-\theta_{2}\left(a\right)}{2\pi}\in\MKinteger
\]
משפט 3.8. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\) מתקיים:\[
\MKind\left(\gamma,z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{1}{z-z_{0}}\ dz
\]
מסקנה 3.9. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) ותהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\left(f\circ\gamma\right)^{*}\) מתקיים:\[
\MKind\left(f\circ\gamma,z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)-z_{0}}\ dz
\]
מסקנה 3.10. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה ויהיו \(z_{0}\in\MKcomplex\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq B_{r}\left(z_{0}\right)\)16שוב: התמונה של \(\gamma\) היא קבוצה קומפקטית ובפרט חסומה.; לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים \(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\).
טענה 3.11. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma^{*}\) ולכל \(w_{0}\in\MKcomplex\) מתקיים
\(\MKind\left(\gamma,z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma+w_{0},z_{0}+w_{0}\right)\); כלומר האינדקס אינווריאנטי להזזות.
\(\MKind\left(\gamma,z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma+w_{0},z_{0}+w_{0}\right)\); כלומר האינדקס אינווריאנטי להזזות.
משפט 3.12. תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילות סגורות, מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
- לכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) מתקיים \(\MKind\left(\gamma_{1}\cdot\gamma_{2},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)+\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right)\).
- אם \(0\notin\gamma_{2}^{*}\) אז לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) מתקיים גם \(\MKind\left(\frac{\gamma_{1}}{\gamma_{2}},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)-\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right)\).
משפט 3.13. למת הולכת הכלב (הגרסה החלשה)
תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילות סגורות ויהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), אם \(\left|\gamma_{1}\left(t\right)-\gamma_{2}\left(t\right)\right|<\left|\gamma_{1}\left(t\right)-z_{0}\right|\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) ומתקיים:\[ \MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right) \]
תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילות סגורות ויהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), אם \(\left|\gamma_{1}\left(t\right)-\gamma_{2}\left(t\right)\right|<\left|\gamma_{1}\left(t\right)-z_{0}\right|\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) ומתקיים:\[ \MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right) \]
משפט 3.14. למת הולכת הכלב (הגרסה החזקה)
תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילות סגורות ויהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), אם \(\left|\gamma_{1}\left(t\right)-\gamma_{2}\left(t\right)\right|<\left|\gamma_{1}\left(t\right)-z_{0}\right|+\left|\gamma_{2}\left(t\right)-z_{0}\right|\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) ומתקיים:\[ \MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right) \]
תהיינה \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילות סגורות ויהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), אם \(\left|\gamma_{1}\left(t\right)-\gamma_{2}\left(t\right)\right|<\left|\gamma_{1}\left(t\right)-z_{0}\right|+\left|\gamma_{2}\left(t\right)-z_{0}\right|\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(z_{0}\notin\gamma_{1}^{*}\cup\gamma_{2}^{*}\) ומתקיים:\[ \MKind\left(\gamma_{1},z_{0}\right)=\MKind\left(\gamma_{2},z_{0}\right) \]
משפט 3.15. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה סגורה, לכל שתי נקודות \(z_{1},z_{2}\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) כך ש-\(z_{1}\) ו-\(z_{2}\) נמצאים באותו רכיב קשירות של \(\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) מתקיים \(\MKind\left(\gamma,z_{1}\right)=\MKind\left(\gamma,z_{2}\right)\); כמו כן לכל \(z_{0}\) ברכיב הקשירות של \(\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) שאינו חסום מתקיים \(\MKind\left(\gamma,z_{0}\right)=0\).
משפט 3.16. תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה, ותהיינה \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) שתי מסילות הומוטופיות ב-\(\Omega\); לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\) מתקיים \(\MKind\left(\gamma_{0},z\right)=\MKind\left(\gamma_{1},z\right)\).
משפט 3.17. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, \(\Omega\) הוא פשוט קשר אנליטית אם"ם לכל מסילה גזירה ברציפות למקוטעין \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) ולכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\) מתקיים \(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\).
מסקנה 3.18. כל תחום פשוט קשר (טופולוגית) הוא תחום פשוט קשר אנליטית.
טענה 3.19. כל תחום כוכבי הוא תחום פשוט קשר.
\(\:\)
4 הכללת משפט קושי ונוסחת קושי
4.1 הגדרות
הגדרה 4.1. מולטי-מסילה היא קבוצה מהצורה \(\left\{ \left(n_{1},\gamma_{1}\right),\left(n_{2},\gamma_{2}\right),\ldots,\left(n_{k},\gamma_{k}\right)\right\} \) כך ש-\(n_{i}\in\MKinteger\)17האם ייתכן ש-\(n_{i}=0\)? ו-\(\gamma_{i}\) היא מסילה סגורה לכל \(k\geq i\in\MKnatural\).
- \(\clubsuit\)
- אינטואיטיבית מולטי-מסילה \(\left\{ \left(n_{1},\gamma_{1}\right),\left(n_{2},\gamma_{2}\right),\ldots,\left(n_{k},\gamma_{k}\right)\right\} \) היא חיבור של \(k\) מסילות כשלכל \(k\geq i\in\MKnatural\) המסילה \(\left(n_{i},\gamma_{i}\right)\) היא המסילה \(\gamma_{i}\) כשהיא מחוברת לעצמה \(n_{i}\) פעמים (אם \(n_{i}<0\) הכוונה היא לחיבור של המסילה ההפוכה לעצמה \(-n_{i}\) פעמים). מסיבה זו נסמן מולטי-מסילה כנ"ל ע"י:\[ \sum_{i=1}^{k}n_{i}\cdot\gamma_{i} \]זהו סימון בלבד! בפרט לא מדובר בפונקציה המוגדרת ע"י סכום המסילות.
- \(\clubsuit\)
- לו היינו רוצים ממש לפרמל את הרעיון הזה היינו צריכים לקשר בין המסילות ע"י מתיחת קווים ישרים מאחת לאחרת כדי להפוך אותן למסילה סגורה אחת, במקום לעשות זאת אנחנו מגדירים מושג חדש ומגדירים עבורו את כל המושגים המתייחסים למסילות כך שיתאימו לרעיון האינטואיטיבי.
לא מצאתי שום אזכור של מולטי-מסילות ברשת, אם מישהו מצא אשמח לשמוע על כך.
הגדרה 4.2. תהא \(\gamma:=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\cdot\gamma_{i}\) מולטי-מסילה.
- התמונה של \(\gamma\) היא \(\gamma^{*}:=\bigcup_{i=1}^{k}\gamma_{i}^{*}\).
- האינדקס של \(\gamma\) עבור נקודה \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) הוא:\[ \MKind\left(\gamma,w\right):=n\left(\gamma,w\right):=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\cdot\MKind\left(\gamma_{i},w\right) \]
- נאמר ש-\(\gamma\) גזירה ברציפות למקוטעין אם \(\gamma_{i}\) גזירה ברציפות למקוטעין לכל \(k\geq i\in\MKnatural\)
- נניח ש-\(\gamma\) גזירה ברציפות למקוטעין, תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\), ותהא \(f\) פונקציה רציפה על \(\Omega\).
האינטגרל של \(f\) לאורך \(\gamma\) הוא:\[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz:=\sum_{i=1}^{k}n_{i}\cdot\intop_{\gamma_{i}}f\left(z\right)dz \]
אילון לא הגדיר תמונה של מולטי-מסילה ואת היותה גזירה ברציפות למקוטעין אך המינוח הזה יהיה שימושי בעתיד וסביר להניח שכולנו מבינים למה הכוונה.
יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\).
למה 4.3. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהא \(F:\Omega\times\left[a,b\right]\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה רציפה, תהא \(G:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(z\in\Omega\)):\[
G\left(z\right):=\intop_{a}^{b}F\left(z,t\right)dt
\]ולכל \(t\in\left[a,b\right]\) נסמן ב-\(F_{t}\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(F_{t}\left(z\right):=F\left(z,t\right)\) לכל \(z\in\Omega\).
אם \(F_{t}\) אנליטית על \(\Omega\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(G\) אנליטית גם היא על \(\Omega\) ולכל \(z\in\Omega\) מתקיים:\[ G'\left(z\right)=\intop_{a}^{b}F_{t}'\left(z\right)dt \]
אם \(F_{t}\) אנליטית על \(\Omega\) לכל \(t\in\left[a,b\right]\) אז \(G\) אנליטית גם היא על \(\Omega\) ולכל \(z\in\Omega\) מתקיים:\[ G'\left(z\right)=\intop_{a}^{b}F_{t}'\left(z\right)dt \]
למה 4.4. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\), ותהא \(F:\Omega\times\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(\left(z,w\right)\in\Omega\times\Omega\)):\[
F\left(z,w\right):=\begin{cases}
\frac{f\left(z\right)-f\left(w\right)}{z-w} & z\neq w\\
f'\left(z\right) & z=w
\end{cases}
\]לכל \(w\in\Omega\) נסמן ב-\(F_{w}\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(F_{w}\left(z\right):=F\left(z,w\right)\) לכל \(z\in\Omega\).
\(F\) היא פונקציה רציפה ו-\(F_{w}\) היא פונקציה אנליטית על \(\Omega\) לכל \(w\in\Omega\).
\(F\) היא פונקציה רציפה ו-\(F_{w}\) היא פונקציה אנליטית על \(\Omega\) לכל \(w\in\Omega\).
משפט 4.5. הכללת משפט קושי ונוסחת קושי
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין כך ש-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) ולכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) מתקיים:
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega\) מסילה סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין כך ש-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) ולכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) מתקיים:
- משפט קושי הכללי - \[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=0 \]
- נוסחת קושי הכללית - \[ \MKind\left(\gamma,w\right)\cdot f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
מסקנה 4.6. משפט קושי ונוסחת קושי עבור מולטי-מסילות
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, ותהא \(\gamma\) מולטי-מסילה גזירה ברציפות למקוטעין כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) ולכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) מתקיים:
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, ותהא \(\gamma\) מולטי-מסילה גזירה ברציפות למקוטעין כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) ולכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) מתקיים:
- משפט קושי הכללי - \[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=0 \]
- נוסחת קושי הכללית - \[ \MKind\left(\gamma,w\right)\cdot f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
מסקנה 4.7. הכללת נוסחת קושי לנגזרות
יהי יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, ותהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\), לכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\), ולכל \(n\in\MKnatural_{0}\), מתקיים:\[ \MKind\left(\gamma,w\right)\cdot f^{\left(n\right)}\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz \]
יהי יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, ותהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(z\notin\Omega\).
לכל פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\), לכל \(w\in\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\), ולכל \(n\in\MKnatural_{0}\), מתקיים:\[ \MKind\left(\gamma,w\right)\cdot f^{\left(n\right)}\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-w\right)^{n+1}}\ dz \]
5 טורי לורן
5.1 הגדרות
- סימון:
- לכל \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\) ולכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) נסמן \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right):=\left\{ z\in\MKcomplex:r_{1}<\left|z-z_{0}\right|<r_{2}\right\} \), קבוצה מצורה זו תיקרא טבעת.
- \(\clubsuit\)
- במקרה שבו \(r_{1}=0\) נקבל ש-\(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\) היא הסביבה המנוקבת \(B_{r_{2}}'\left(z_{0}\right)\).
- סימון:
- תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\)18נזכיר שסימון מעין זה מבטא סדרה אין-סופית בשני הכיוונים, או באופן פורמלי פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא \(\MKinteger\) (תחום ההגדרה של סדרות אין-סופיות רגילות הוא \(\MKnatural\)). סדרת מספרים מרוכבים, נסמן:\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}:=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n} \]
- \(\clubsuit\)
- אם הפונקציה אנליטית על כל הדיסק ולא רק בטבעת אז טור לורן של הפונקציה הוא פשוט טור טיילור שלה (כל המקדמים בעלי אינדקס שלילי הם אפסים).
- \(\clubsuit\)
- ניתן להסתכל על פונקציה מרומורפית כפונקציה אנליטית בספירה של רימן, שאז \(\infty\) הוא ערך לגיטימי שהפונקציה תקבל ולכן קוטב "הופך" לסינגולריות סליקה.
- \(\clubsuit\)
- העניין שלנו ב-\(a_{-1}\) נובע מהעובדה שלכל האיברים האחרים בטור יש פונקציה קדומה על כל המישור המרוכב, ולכן כאשר נחשב אינטגרל לאורך מסילה סגורה של הטור כל האיברים הללו יתאפסו ותוותר השארית.
למה. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
לכל \(R,\tilde{R}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<R<\tilde{R}<r_{2}\) ולכל \(w\in A\left(z_{0},R,\tilde{R}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\intop_{C\left(z_{0},\tilde{R}\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz-\intop_{C\left(z_{0},R\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
לכל \(R,\tilde{R}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<R<\tilde{R}<r_{2}\) ולכל \(w\in A\left(z_{0},R,\tilde{R}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\intop_{C\left(z_{0},\tilde{R}\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz-\intop_{C\left(z_{0},R\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz \]
משפט. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
קיימת סדרת מספרים מרוכבים \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) יחידה כך שמתקיים (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]"טור" זה מתכנס בהחלט במ"ש19כלומר הטורים \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{-n}\) מתכנסים בהחלט במ"ש. על תתי-קבוצות קומפקטיות של \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\), והמקדמים בטור הם (לכל \(n\in\MKinteger\) ולכל \(r\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r<r_{2}\)):\[ a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\ dz \]
קיימת סדרת מספרים מרוכבים \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) יחידה כך שמתקיים (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]"טור" זה מתכנס בהחלט במ"ש19כלומר הטורים \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{-n}\) מתכנסים בהחלט במ"ש. על תתי-קבוצות קומפקטיות של \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\), והמקדמים בטור הם (לכל \(n\in\MKinteger\) ולכל \(r\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r<r_{2}\)):\[ a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\ dz \]
הגדרה 5.1. טורי לורן20ערך בוויקיפדיה: לורן אלפונס פייר.
ההצגה הנ"ל של פונקציה אנליטית על טבעת נקראת הפיתוח של הפונקציה לטור לורן סביב מרכז הטבעת21כלומר במקרה הנ"ל זהו הפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
ההצגה הנ"ל של פונקציה אנליטית על טבעת נקראת הפיתוח של הפונקציה לטור לורן סביב מרכז הטבעת21כלומר במקרה הנ"ל זהו הפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
הגדרה 5.2. יהיו \(z_{0}\in\MKcomplex\) ו-\(0<r\in\MKreal\), תהא \(f\) פונקציה אנליטית ב-\(B_{r}'\left(z_{0}\right)\) ותהא \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) סדרת המקדמים בפיתוח של \(f\) לטור לורן ב-\(B_{r}'\left(z_{0}\right)\).
נאמר של-\(f\) יש סינגולריות מבודדת ב-\(z_{0}\) אם \(f\) אינה אנליטית ב-\(z_{0}\), ובנוסף:
נאמר של-\(f\) יש סינגולריות מבודדת ב-\(z_{0}\) אם \(f\) אינה אנליטית ב-\(z_{0}\), ובנוסף:
- נאמר ש-\(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות סליקה של \(f\) אם הגבול \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left(z\right)\) קיים (במובן הצר).
- נאמר ש-\(z_{0}\) היא קוטב של \(f\) אם קיים \(0>k\in\MKinteger\) כך ש-\(a_{k}\neq0\) ו-\(a_{l}=0\) לכל \(k>l\in\MKinteger\), במקרה כזה נאמר ש-\(z_{0}\) קוטב מסדר \(k\) של \(f\), ואם \(k=1\) נאמר גם ש-\(z_{0}\) היא קוטב פשוט של \(f\).
- נאמר ש-\(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות עיקרית/מהותית של \(f\) אם לכל \(k\in\MKinteger\) קיים \(k>l\in\MKinteger\) כך ש-\(a_{l}\neq0\).
הגדרה 5.3. תהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה, פונקציה \(f\) תיקרא מרומורפית על \(\Omega\) אם \(f\) אנליטית על \(\Omega\setminus S\) כאשר \(S\subseteq\Omega\) היא קבוצה סופית או בת-מנייה ללא נקודת הצטברות וכל \(s\in S\) אינה נקודת סינגולריות עיקרית של \(f\).
הגדרה 5.4. יהי \(0<r\in\MKreal\), נסמן \(\Omega:=\left\{ z\in\MKcomplex:\left|z\right|>r\right\} \)22\(\Omega\) היא "סביבה מנוקבת" של \(\infty\) בספירה של רימן. ותהא \(f\) פונקציה אנליטית ב-\(\Omega\).
נתבונן ב-\(f\) כפונקציה על הספירה של רימן ונאמר של-\(f\) יש סינגולריות מבודדת ב-\(\infty\) אם \(f\) אינה אנליטית ב-\(\infty\), בנוסף נסמן ב-\(g\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(z\right):=f\left(\frac{1}{z}\right)\) (לכל \(z\in B_{r^{-1}}\left(0\right)\)), ואז:
נתבונן ב-\(f\) כפונקציה על הספירה של רימן ונאמר של-\(f\) יש סינגולריות מבודדת ב-\(\infty\) אם \(f\) אינה אנליטית ב-\(\infty\), בנוסף נסמן ב-\(g\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(z\right):=f\left(\frac{1}{z}\right)\) (לכל \(z\in B_{r^{-1}}\left(0\right)\)), ואז:
- נאמר ש-\(\infty\) היא נקודת סינגולריות סליקה של \(f\) אם \(0\) היא נקודת סינגולריות סליקה של \(g\).
- נאמר ש-\(\infty\) היא נקודת קוטב של \(f\) אם \(0\) היא קוטב של \(g\), ואז נאמר גם שסדר הקוטב של \(g\) ב-\(0\) הוא זה של \(f\) ב-\(\infty\).
- נאמר ש-\(\infty\) היא נקודת סינגולריות עיקרית/מהותית של \(f\) אם \(0\) היא נקודת סינגולריות עיקרית/מהותית של \(g\).
הגדרה 5.5. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) סדרה כך שלכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\) מתקיים:\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]כלומר זוהי סדרת המקדמים בפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
נסמן \(\MKres\left(f,z_{0}\right):=a_{-1}\) ונקרא ל-\(\MKres\left(f,z_{0}\right)\) השארית של \(f\) ב-\(z_{0}\).
תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) סדרה כך שלכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\) מתקיים:\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]כלומר זוהי סדרת המקדמים בפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
נסמן \(\MKres\left(f,z_{0}\right):=a_{-1}\) ונקרא ל-\(\MKres\left(f,z_{0}\right)\) השארית של \(f\) ב-\(z_{0}\).
5.2 התחלה
- סימון:
- לכל \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\) ולכל \(z_{0}\in\MKcomplex\) נסמן \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right):=\left\{ z\in\MKcomplex:r_{1}<\left|z-z_{0}\right|<r_{2}\right\} \), קבוצה מצורה זו תיקרא טבעת.
- \(\clubsuit\)
- במקרה שבו \(r_{1}=0\) נקבל ש-\(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\) היא הסביבה המנוקבת \(B_{r_{2}}'\left(z_{0}\right)\).
- סימון:
- תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\)23נזכיר שסימון מעין זה מבטא סדרה אין-סופית בשני הכיוונים, או באופן פורמלי פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא \(\MKinteger\) (תחום ההגדרה של סדרות אין-סופיות רגילות הוא \(\MKnatural\)). סדרת מספרים מרוכבים, נסמן:\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}:=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n} \]
למה 5.6. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
לכל \(R,\tilde{R}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<R<\tilde{R}<r_{2}\) ולכל \(w\in A\left(z_{0},R,\tilde{R}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\left(\intop_{C\left(z_{0},\tilde{R}\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz-\intop_{C\left(z_{0},R\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz\right) \]
לכל \(R,\tilde{R}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<R<\tilde{R}<r_{2}\) ולכל \(w\in A\left(z_{0},R,\tilde{R}\right)\) מתקיים:\[ f\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\left(\intop_{C\left(z_{0},\tilde{R}\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz-\intop_{C\left(z_{0},R\right)}\frac{f\left(z\right)}{z-w}\ dz\right) \]
משפט 5.7. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
קיימת סדרת מספרים מרוכבים \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) יחידה כך שמתקיים (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]"טור" זה מתכנס בהחלט במ"ש24כלומר הטורים \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{-n}\) מתכנסים בהחלט במ"ש. על תתי-קבוצות קומפקטיות של \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\), והמקדמים בטור הם (לכל \(n\in\MKinteger\) ולכל \(r\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r<r_{2}\)):\[ a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\ dz \]
קיימת סדרת מספרים מרוכבים \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\) יחידה כך שמתקיים (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n} \]"טור" זה מתכנס בהחלט במ"ש24כלומר הטורים \(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{n}\) ו-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(z-z_{0}\right)^{-n}\) מתכנסים בהחלט במ"ש. על תתי-קבוצות קומפקטיות של \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\), והמקדמים בטור הם (לכל \(n\in\MKinteger\) ולכל \(r\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r<r_{2}\)):\[ a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\ dz \]
5.3 נקודות סינגולריות מבודדות
משפט 5.8. תהא \(f\) פונקציה אנליטית בעלת סינגולריות מבודדת בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\), שלושת התנאים הבאים שקולים:
- \(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות סליקה של \(f\).
- \(f\) חסומה בסביבה מנוקבת של \(z_{0}\).
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(z\in B_{r}'\left(z_{0}\right)\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|<\frac{\varepsilon}{\left|z-z_{0}\right|}\).
משפט 5.9. תהא \(f\) פונקציה אנליטית בעלת סינגולריות מבודדת בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\), מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
- ל-\(f\) יש קוטב ב-\(z_{0}\) אם"ם \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left|f\left(z\right)\right|=\infty\).
- ל-\(f\) יש קוטב מסדר \(k\in\MKnatural\) ב-\(z_{0}\) אם"ם הגבול \(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left(z\right)\cdot\left(z-z_{0}\right)^{k}\) קיים במובן הצר ואינו \(0\).
מסקנה 5.10. תהא \(f\) פונקציה אנליטית בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\).
ל-\(f\) יש אפס מסדר \(k\in\MKnatural\) ב-\(z_{0}\) אם"ם ל-\(\frac{1}{f}\) יש קוטב מסדר \(k\) ב-\(z_{0}\).
ל-\(f\) יש אפס מסדר \(k\in\MKnatural\) ב-\(z_{0}\) אם"ם ל-\(\frac{1}{f}\) יש קוטב מסדר \(k\) ב-\(z_{0}\).
למה 5.11. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות כך של-\(f\) יש קוטב מסדר \(k\in\MKnatural\) בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\) ול-\(g\) יש אפס מסדר \(m\in\MKnatural\) באותה נקודה.
- אם \(k<m\) אז ל-\(f\cdot g\) יש אפס מסדר \(k-m\) ב-\(z_{0}\).
- אם \(k>m\) אז ל-\(f\cdot g\) יש קוטב מסדר \(m-k\) ב-\(z_{0}\).
- אם \(k=m\) אז ל-\(f\cdot g\) יש סינגולריות סליקה ב-\(z_{0}\).
מסקנה 5.12. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות כך ש-\(f\) ו-\(g\) בעלות קטבים מסדר \(k\) ו-\(m\) (בהתאמה) בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\).
- ל-\(f\cdot g\) יש קוטב מסדר \(k+m\) ב-\(z_{0}\).
- ל-\(f+g\) יש קוטב מסדר קטן או שווה ל-\(\max\left\{ k,m\right\} \) ב-\(z_{0}\), או ש-\(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות סליקה של \(z_{0}\).
- עבור \(\frac{f}{g}\) יש לחלק למקרים:
- אם \(k<m\) אז ל-\(\frac{f}{g}\) יש אפס מסדר \(k-m\) ב-\(z_{0}\).
- אם \(k>m\) אז ל-\(\frac{f}{g}\) יש קוטב מסדר \(m-k\) ב-\(z_{0}\).
- אם \(k=m\) אז ל-\(\frac{f}{g}\) יש סינגולריות סליקה ב-\(z_{0}\).
משפט 5.13. משפט קזוראטי-ויירשטראס (Casorati-Weierstrass)25ערכים בוויקיפדיה: Felice Casorati (אנגלית) וקארל ויירשטראס (עברית).
תהא \(f\) פונקציה בעלת סינגולריות מבודדת בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\), \(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות עיקרית של \(f\) אם"ם לכל \(0<r\in\MKreal\) (כך ש-\(f\) מוגדרת ב-\(B_{r}'\left(z_{0}\right)\)) הקבוצה \(f\left(B_{r}'\left(z_{0}\right)\right)\) צפופה ב-\(\MKcomplex\).
תהא \(f\) פונקציה בעלת סינגולריות מבודדת בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\), \(z_{0}\) היא נקודת סינגולריות עיקרית של \(f\) אם"ם לכל \(0<r\in\MKreal\) (כך ש-\(f\) מוגדרת ב-\(B_{r}'\left(z_{0}\right)\)) הקבוצה \(f\left(B_{r}'\left(z_{0}\right)\right)\) צפופה ב-\(\MKcomplex\).
את הגרירה משמאל לימין לא ראינו בכיתה אך היא נובעת ישירות משני המשפטים הקודמים.
- \(\clubsuit\)
- למעשה קיים משפט חזק יותר האומר שליד סינגולריות עיקרית לא רק שתמונת הפונקציה צפופה במישור המרוכב, אלא שכל נקודה במישור מופיעה בתמונה מלבד נקודה אחת לכל היותר; ראו כאן.
טענה 5.14. תהא \(f\) פונקציה אנליטית בעלת סינגולריות עיקרית בנקודה \(z_{0}\), ותהא \(g\) פונקציה אנליטית.
אם ההרכבה \(g\circ f\) מוגדרת בסביבה מנוקבת של \(z_{0}\) אז גם ל-\(g\circ f\) יש סינגולריות עיקרית ב-\(z_{0}\).
אם ההרכבה \(g\circ f\) מוגדרת בסביבה מנוקבת של \(z_{0}\) אז גם ל-\(g\circ f\) יש סינגולריות עיקרית ב-\(z_{0}\).
5.4 משפט השאריות ומסקנותיו
טענה 5.15. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות מרומורפיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), \(f+g\) ו-\(f\cdot g\) גם הן פונקציות מרומורפיות על \(\Omega\), ואם \(g\) אינה פונקציית האפס26הכוונה היא שקיימת נקודה \(z\in\Omega\) כך ש-\(g\left(z\right)\neq0\). אז גם \(\frac{f}{g}\) היא פונקציה מרומורפית.
- \(\clubsuit\)
- כלומר קבוצת הפונקציות המרומורפיות על תחום היא שדה כשהכפל והחיבור הם אלו שמושרים מ-\(\MKcomplex\).
- \(\clubsuit\)
- למעשה גם הכיוון ההפוך נכון: כל פונקציה מרומורפית ניתנת להצגה כמנה של פונקציות אנליטיות.
- \(\clubsuit\)
- משפט העקום של ז'ורדן קובע שבהינתן מסילה סגורה ופשוטה \(\gamma\), לקבוצה \(\MKcomplex\setminus\gamma^{*}\) יש שני רכיבי קשירות בדיוק: אחד מהם חסום והאחר אינו חסום, והשפה של שניהם היא \(\gamma^{*}\) (בפרט שני הרכיבים הם קבוצות פתוחות וקשירות). במקרה כזה האינדקס של כל נקודה ברכיב הקשירות החסום הוא \(1\) או \(-1\)27תלוי בכיוון ההקפה של המסילה אבל בכל מקרה לכל הנקודות יש את אותו האינדקס., והאינדקס של כל נקודה ברכיב הקשירות שאינו חסום הוא \(0\). לפיכך אם \(\gamma\) הנ"ל היא מסילה פשוטה משפט השאריות יגיד שמתקיים:\[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=2\pi i\cdot\sum_{s\in S}\MKres\left(f,s\right) \]לא ראינו את ההוכחה של משפט ז'ורדן בכיתה אבל מותר לנו להשתמש עבור מסילות כגון: מעגלים, חצאי מעגלים ומצולעים.
- \(\clubsuit\)
- יחד עם משפט השאריות למת ז'ורדן מאפשרת לנו לחשב אינטגרלים מהצורות (\(a>0\) ו-\(g\) פונקציה רציפה על כל הישר הממשי):\[\begin{align*}
\intop_{-\infty}^{\infty}\cos\left(ax\right)\cdot g\left(x\right)dx & \intop_{-\infty}^{\infty}\sin\left(ax\right)\cdot g\left(x\right)dx & \lim_{x\rightarrow\pm\infty}g\left(x\right) & =0
\end{align*}\]באופן שלא היינו יכולים לו היינו מתבוננים באינטגרל כאינטגרל ממשי גרידא.
הרעיון הוא כזה:- נגדיר את \(g\) על כל חצי המישור העליון כך שתתקבל פונקציה אנליטית למעט בקבוצה סופית וזרה ל-\(\MKreal\) שתסומן ב-\(S\), ובנוסף יישמר הגבול \({\displaystyle \lim_{z\rightarrow\infty}g\left(z\right)=0}\).
אם אי אפשר לעשות זאת השלבים הבאים לא יועילו ויש לנסות כיוון אחר. - לכל \(0<R\in\MKreal\) נסמן ב-\(\gamma_{R}^{1}\) את המסילה המוגדרת ע"י \(\gamma_{R}\left(t\right):=t\) לכל \(t\in\left[-R,R\right]\), וב-\(C_{R}\) את המסילה המוגדרת ע"י \(C_{R}\left(\theta\right):=e^{i\theta}\) לכל \(\theta\in\left[0,\pi\right]\).
כמו כן נסמן ב-\(f\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(z\right):=e^{iaz}\cdot g\left(z\right)\) לכל \(z\) בחצי המישור העליון. - כעת מהגבול הנ"ל ומלמת ז'ורדן נובע כי:\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{C_{R}}f\left(z\right)dz=0 \]ומכאן שע"פ משפט השאריות מתקיים28יש צורך להוכיח שהאינטגרלים אכן מתכנסים כדי להצדיק את המעברים.:\[\begin{align*} 2\pi i\cdot\sum_{s\in S}\MKres\left(f,s\right) & =\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{\gamma_{R}*C_{R}}f\left(z\right)dz=\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{\gamma_{R}*C_{R}}e^{iaz}\cdot g\left(z\right)\ dz\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{\gamma_{R}}e^{iaz}\cdot g\left(z\right)dz+\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{C_{R}}e^{iaz}\cdot g\left(z\right)dz\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{\gamma_{R}}e^{iaz}\cdot g\left(z\right)dz+0=\lim_{R\rightarrow\infty}\intop_{-R}^{R}\left(\cos\left(x\right)+i\cdot\sin\left(x\right)\right)\cdot g\left(x\right)dx\\ & =\intop_{-\infty}^{\infty}\cos\left(x\right)\cdot g\left(z\right)dx+i\cdot\intop_{-\infty}^{\infty}\sin\left(x\right)\cdot g\left(z\right)dx \end{align*}\]
- אם אנחנו יודעים את הערך של השאריות נוכל להשוות חלק ממשי לחלק ממשי וחלק מרוכב לחלק מרוכב, ובכך לסיים את הפתרון.
- נגדיר את \(g\) על כל חצי המישור העליון כך שתתקבל פונקציה אנליטית למעט בקבוצה סופית וזרה ל-\(\MKreal\) שתסומן ב-\(S\), ובנוסף יישמר הגבול \({\displaystyle \lim_{z\rightarrow\infty}g\left(z\right)=0}\).
- \(\clubsuit\)
- אם \(f\) אנליטית על \(\Omega\) אז אין לה קטבים ב-\(\Omega\) והמשפט עוסק אך ורק באפסים שלה.
- \(\clubsuit\)
- ושוב: אם \(f\) אנליטית על \(\Omega\) אז אין לה קטבים ב-\(\Omega\) והמשפט עוסק אך ורק באפסים שלה, כלומר נקבל:\[ \MKind\left(f\circ\gamma,0\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}\ dz=\sum_{z\in Z\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right) \]
- \(\clubsuit\)
- בפרט אם \(\MKind\left(\gamma,z\right)=1\) לכל \(z\in Z\left(f\right)\cup Z\left(g\right)\) אז מספר האפסים של \(g\) שווה לזה של \(f\) (עם ריבוי).
- \(\clubsuit\)
- משפט רושה נותן הוכחה פשוטה עבור המשפט היסודי של האלגברה: נסמן את הפולינום הנתון ב-\(f\) ואת המונום המוביל שלו ב-\(g\), \(g\) מתאפסת ב-\(0\) ועבור \(z\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|z\right|\) גדול מספיק מתקיים הא"ש שדורש משפט רושה, לכן אם ניקח את המסילה \(C\left(0,R\right)\) עבור \(R\) גדול מספיק נקבל של-\(f\) יש לפחות אפס אחד.
טענה 5.16. תהא \(f\) פונקציה אנליטית בעלת קוטב מסדר \(k\in\MKnatural\) בנקודה \(z_{0}\in\MKcomplex\), ותהא \(g\) פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של \(z_{0}\) ע"י (לכל \(z\) בסביבה זו):\[
g\left(z\right):=\left(z-z_{0}\right)^{k}\cdot f\left(z\right)
\]מתקיים:\[
\MKres\left(f,z_{0}\right)=\frac{1}{\left(k-1\right)!}\cdot\lim_{z\rightarrow z_{0}}g^{\left(k-1\right)}\left(z\right)
\]
משפט 5.17. יהי \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהיו \(0\leq r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(r_{1}<r_{2}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\).
יהי \(w\in\MKcomplex\), מתקיים \(w=\MKres\left(f,z_{0}\right)\) אם"ם לפונקציה \(g\) המוגדרת ע"י \(g\left(z\right):=f\left(z\right)-\frac{w}{z-z_{0}}\) (לכל \(z\notin A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)) יש פונקציה קדומה.
במקרה זה הפונקציה הקדומה היא הפונקציה \(G\) המוגדרת ע"י (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ G\left(z\right):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\frac{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}{n+1}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{-n}\cdot\frac{\left(z-z_{0}\right)^{-n+1}}{-n+1} \]כאשר \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\)היא סדרת המקדמים בפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
יהי \(w\in\MKcomplex\), מתקיים \(w=\MKres\left(f,z_{0}\right)\) אם"ם לפונקציה \(g\) המוגדרת ע"י \(g\left(z\right):=f\left(z\right)-\frac{w}{z-z_{0}}\) (לכל \(z\notin A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)) יש פונקציה קדומה.
במקרה זה הפונקציה הקדומה היא הפונקציה \(G\) המוגדרת ע"י (לכל \(z\in A\left(z_{0},r_{1},r_{2}\right)\)):\[ G\left(z\right):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot\frac{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}{n+1}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{-n}\cdot\frac{\left(z-z_{0}\right)^{-n+1}}{-n+1} \]כאשר \(\left(a_{n}\right)_{n=-\infty}^{\infty}\)היא סדרת המקדמים בפיתוח של \(f\) לטור לורן סביב \(z_{0}\).
משפט 5.18. משפט השאריות
תהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, ותהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\setminus\Omega\).
תהא \(S\subseteq\Omega\) קבוצה ללא נקודות הצטברות כך ש-\(S\) זרה ל-\(\gamma^{*}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(\Omega\setminus S\).
במקרה כזה הקבוצה \(S\cap\left\{ z\in\Omega:\MKind\left(\gamma,z\right)\neq0\right\} \) סופית, ומתקיים:\[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=2\pi i\cdot\sum_{s\in S}\MKind\left(\gamma,s\right)\cdot\MKres\left(f,s\right) \]
תהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, ותהא \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) קבוצה פתוחה כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\setminus\Omega\).
תהא \(S\subseteq\Omega\) קבוצה ללא נקודות הצטברות כך ש-\(S\) זרה ל-\(\gamma^{*}\), ותהא \(f\) פונקציה אנליטית על \(\Omega\setminus S\).
במקרה כזה הקבוצה \(S\cap\left\{ z\in\Omega:\MKind\left(\gamma,z\right)\neq0\right\} \) סופית, ומתקיים:\[ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=2\pi i\cdot\sum_{s\in S}\MKind\left(\gamma,s\right)\cdot\MKres\left(f,s\right) \]
משפט 5.19. למת ז'ורדן
יהי \(0<R\in\MKreal\) ותהא \(C_{R}:\left[0,\pi\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה המוגדרת ע"י \(C_{R}\left(\theta\right):=R\cdot e^{i\theta}\) לכל \(\theta\in\left[0,2\pi\right]\).
יהיו \(f\) ו-\(g\) פונקציות רציפות ב-\(C_{R}^{*}\) ו-\(0<a\in\MKreal\) כך שמתקיים \(f\left(z\right)=e^{iaz}\cdot g\left(z\right)\) לכל \(z\in C_{R}^{*}\).
נסמן \(M_{R}:=\max\left\{ g\left(R\cdot e^{i\theta}\right)\mid\theta\in\left[0,\pi\right]\right\} \), ואז מתקיים:\[ \intop_{C_{R}}f\left(z\right)dz\leq\frac{\pi}{a}\cdot M_{R} \]
יהי \(0<R\in\MKreal\) ותהא \(C_{R}:\left[0,\pi\right]\rightarrow\MKcomplex\) מסילה המוגדרת ע"י \(C_{R}\left(\theta\right):=R\cdot e^{i\theta}\) לכל \(\theta\in\left[0,2\pi\right]\).
יהיו \(f\) ו-\(g\) פונקציות רציפות ב-\(C_{R}^{*}\) ו-\(0<a\in\MKreal\) כך שמתקיים \(f\left(z\right)=e^{iaz}\cdot g\left(z\right)\) לכל \(z\in C_{R}^{*}\).
נסמן \(M_{R}:=\max\left\{ g\left(R\cdot e^{i\theta}\right)\mid\theta\in\left[0,\pi\right]\right\} \), ואז מתקיים:\[ \intop_{C_{R}}f\left(z\right)dz\leq\frac{\pi}{a}\cdot M_{R} \]
משפט 5.20. עקרון הארגומנט
תהא \(f\) פונקציה מרומורפית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), כך שלקבוצת האפסים שלה ב-\(\Omega\) ולקבוצת הקטבים שלה ב-\(\Omega\) אין נקודת הצטברות.
נסמן ב-\(Z\left(f\right)\) את קבוצת האפסים של \(f\) ב-\(\Omega\), וב-\(P\left(f\right)\) נסמן את קבוצת הקטבים של \(f\) ב-\(\Omega\); \(\frac{f'}{f}\) אנליטית על \(\Omega\setminus\left(Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\right)\) כאשר כל \(z\in Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\) הוא קוטב פשוט שלה, ובנוסף:
תהא \(f\) פונקציה מרומורפית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), כך שלקבוצת האפסים שלה ב-\(\Omega\) ולקבוצת הקטבים שלה ב-\(\Omega\) אין נקודת הצטברות.
נסמן ב-\(Z\left(f\right)\) את קבוצת האפסים של \(f\) ב-\(\Omega\), וב-\(P\left(f\right)\) נסמן את קבוצת הקטבים של \(f\) ב-\(\Omega\); \(\frac{f'}{f}\) אנליטית על \(\Omega\setminus\left(Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\right)\) כאשר כל \(z\in Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\) הוא קוטב פשוט שלה, ובנוסף:
- אם \(z\) הוא אפס מסדר \(k\in\MKnatural\) של \(f\) אז \(\MKres\left(\frac{f'}{f},z\right)=k\).
- אם \(z\) הוא קוטב מסדר \(k\in\MKnatural\) של \(f\) אז \(\MKres\left(\frac{f'}{f},z\right)=-k\).
משפט 5.21. תהא \(f\) פונקציה מרומורפית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), ותהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(\MKind\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\setminus\Omega\). נסמן ב-\(Z\left(f\right)\) את קבוצת האפסים של \(f\) ב-\(\Omega\), וב-\(P\left(f\right)\) נסמן את קבוצת הקטבים של \(f\) ב-\(\Omega\).
אם \(\gamma\) אינה עוברת דרך אפסים וקטבים של \(f\) (כלומר \(\gamma^{*}\cap\left(Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\right)=\emptyset\)), אז:\[ \MKind\left(f\circ\gamma,0\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}\ dz=\sum_{z\in Z\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right)-\sum_{z\in P\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right) \]כאשר \(m\left(z\right)\) הוא הסדר של האפס/הקוטב ב-\(z\) לכל \(z\in Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\).
אם \(\gamma\) אינה עוברת דרך אפסים וקטבים של \(f\) (כלומר \(\gamma^{*}\cap\left(Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\right)=\emptyset\)), אז:\[ \MKind\left(f\circ\gamma,0\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}\ dz=\sum_{z\in Z\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right)-\sum_{z\in P\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right) \]כאשר \(m\left(z\right)\) הוא הסדר של האפס/הקוטב ב-\(z\) לכל \(z\in Z\left(f\right)\cup P\left(f\right)\).
מסקנה 5.22. משפט רושה (Rouché)29ערך בוויקיפדיה: Eugène Rouché.
תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), ותהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(n\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\setminus\Omega\).
אם לכל \(z\in\gamma^{*}\) מתקיים30בפרט מתקיים \(f\left(z\right)\neq0\) וגם \(g\left(z\right)\neq0\) לכל \(z\in\gamma^{*}\).:\[ \left|f\left(z\right)-g\left(z\right)\right|<\left|f\left(z\right)\right|+\left|g\left(z\right)\right| \]אז:\[ \sum_{z\in Z\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right)=\sum_{z\in Z\left(g\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right) \]כאשר \(m\left(z\right)\) הוא הסדר של האפס ב-\(z\) לכל \(z\in Z\left(f\right)\) (עבור \(f\)) ולכל \(z\in Z\left(g\right)\) (עבור \(g\)).
תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), ותהא \(\gamma\) מסילה (או מולטי-מסילה) סגורה וגזירה ברציפות למקוטעין, כך ש-\(\gamma^{*}\subseteq\Omega\) ו-\(n\left(\gamma,z\right)=0\) לכל \(z\in\MKcomplex\setminus\Omega\).
אם לכל \(z\in\gamma^{*}\) מתקיים30בפרט מתקיים \(f\left(z\right)\neq0\) וגם \(g\left(z\right)\neq0\) לכל \(z\in\gamma^{*}\).:\[ \left|f\left(z\right)-g\left(z\right)\right|<\left|f\left(z\right)\right|+\left|g\left(z\right)\right| \]אז:\[ \sum_{z\in Z\left(f\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right)=\sum_{z\in Z\left(g\right)}\MKind\left(\gamma,z\right)\cdot m\left(z\right) \]כאשר \(m\left(z\right)\) הוא הסדר של האפס ב-\(z\) לכל \(z\in Z\left(f\right)\) (עבור \(f\)) ולכל \(z\in Z\left(g\right)\) (עבור \(g\)).
משפט 5.23. משפט ההעתקה הפתוחה לפונקציות אנליטיות
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית שאינה קבועה, יהי \(z_{0}\in\Omega\) ונסמן \(w_{0}:=f\left(z_{0}\right)\), ויהי \(k\in\MKnatural\) סדר האפס של \(f-w_{0}\) ב-\(z_{0}\).
מתקיימים ארבעת הפסוקים הבאים:
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהא \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה אנליטית שאינה קבועה, יהי \(z_{0}\in\Omega\) ונסמן \(w_{0}:=f\left(z_{0}\right)\), ויהי \(k\in\MKnatural\) סדר האפס של \(f-w_{0}\) ב-\(z_{0}\).
מתקיימים ארבעת הפסוקים הבאים:
- קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך ש-\(B_{\varepsilon}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\), ובנוסף ל-\(f'\) ול-\(f-w_{0}\) אין אפסים ב-\(B_{\varepsilon}'\left(z_{0}\right)\), יהי \(\varepsilon\) כנ"ל.
- נסמן ב-\(W_{0}\) את רכיב הקשירות של \(\MKcomplex\setminus\left(f\circ C\left(z_{0},\varepsilon\right)\right)^{*}\) שבו נמצא \(w_{0}\), ובנוסף נסמן \(\Omega_{0}:=f^{-1}\left(W_{0}\right)\cap B_{\varepsilon}\left(z_{0}\right)\).
לכל \(w\in W_{0}\setminus\left\{ w_{0}\right\} \) קיימים \(z_{1},z_{2},\ldots,z_{k}\in\Omega_{0}\setminus\left\{ z_{0}\right\} \) שונים זה מזה כך ש-\(f\left(z_{i}\right)=w\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\),
בפרט מתקיים \(f'\left(z_{0}\right)\neq0\) (כלומר \(k=1\)) אם"ם ו-\(f\) היא העתקה חח"ע ועל מ-\(\Omega_{0}\setminus\left\{ z_{0}\right\} \) ל-\(W_{0}\setminus\left\{ w_{0}\right\} \)31כלומר הצמצום של \(f\) ל-\(\Omega_{0}\setminus\left\{ z_{0}\right\} \) הוא העתקה חח"ע ועל \(W_{0}\setminus\left\{ w_{0}\right\} \).. - \(f\) היא העתקה פתוחה, כלומר לכל קבוצה פתוחה \(U\subseteq\Omega\) גם \(f\left(U\right)\) היא קבוצה פתוחה.
- אם \(f\) חח"ע אז \(f^{-1}\) אנליטית על \(f\left(\Omega\right)\).
משפט 5.24. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות אנליטיות על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) כך ש-\(f\) חח"ע.
לכל \(z_{0}\in\Omega\), לכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\) ולכל \(w\in f\left(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\right)\) מתקיים:\[ g\left(f^{-1}\left(w\right)\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g\left(z\right)\cdot\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)-w}\ dz \]ובפרט:\[ f^{-1}\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}z\cdot\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)-w}\ dz \]
לכל \(z_{0}\in\Omega\), לכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\subseteq\Omega\) ולכל \(w\in f\left(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\right)\) מתקיים:\[ g\left(f^{-1}\left(w\right)\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}g\left(z\right)\cdot\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)-w}\ dz \]ובפרט:\[ f^{-1}\left(w\right)=\frac{1}{2\pi i}\cdot\intop_{C\left(z_{0},r\right)}z\cdot\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)-w}\ dz \]
6 הספֵירה של רימן והעתקות מביוס
6.1 הגדרות
עבור הגדרת הספֵירה של רימן אין צורך פורמלי בהכרת מרחבים טופולוגיים וקומפקטיפיקציה שלהם, אבל כדי להבין מה באמת קורה כאן אני חושב שראוי להקדיש להם מעט זמן.
הגדרה. מרחב טופולוגי הוא קבוצה \(X\) ואוסף תתי-קבוצות שלה \(\tau\subseteq\MKclp\left(X\right)\) המקיימים את שלושת התנאים הבאים:
- \(\emptyset,X\in\tau\).
- לכל \(S\subseteq\tau\) מתקיים:\[ \bigcup_{s\in S}s\in\tau \]
- לכל \(U_{1},U_{2}\in\tau\) מתקיים \(U_{1}\cap U_{2}\in\tau\) (מכאן שכל חיתוך סופי של קבוצות ב-\(\tau\) שייך ל-\(\tau\)).
- \(\clubsuit\)
- מרחבים טופולוגיים הם הכללה של המרחבים המטריים, יש בהם קבוצות פתוחות וסגורות אך הן אינן מוגדרות בהכרח ע"פ מטריקה.
- \(\clubsuit\)
- הרעיון הוא שכעת \(Y\) הוא מרחב קומפקטי וזה מושג ע"י הסעיף השני שמגדיר "סביבה של \(\infty\)".
הגדרה. תת-קבוצה \(K\subseteq X\) במרחב טופולוגי \(X\) תיקרא קומפקטית אם לכל כיסוי פתוח שלה קיים תת-כיסוי סופי, כלומר אם לכל אוסף של קבוצות פתוחות \(S\) כך שמתקיים (זהו כיסוי פתוח):\[
K\subseteq\bigcup_{s\in S}s
\]קיימת תת-קבוצה סופית \(A\subseteq S\) כך שמתקיים (זו תת-כיסוי סופי):\[
K\subseteq\bigcup_{a\in A}a
\]
הגדרה. קומפקטיפיקציה חד נקודתית
יהי \(X\) מרחב טופולוגי עם טופולוגיה \(\tau_{X}\), ניקח נקודה \(\infty\notin X\), ונסמן \(Y:=X\cup\left\{ \infty\right\} \).
נסמן ב-\(\tau_{Y}\) את הטופולוגיה של המרחב הטופולוגי \(Y\) המוגדרת כך שתת-קבוצה \(U\subseteq Y\) תיקרא פתוחה אם מתקיים אחד משני התנאים הבאים:
יהי \(X\) מרחב טופולוגי עם טופולוגיה \(\tau_{X}\), ניקח נקודה \(\infty\notin X\), ונסמן \(Y:=X\cup\left\{ \infty\right\} \).
נסמן ב-\(\tau_{Y}\) את הטופולוגיה של המרחב הטופולוגי \(Y\) המוגדרת כך שתת-קבוצה \(U\subseteq Y\) תיקרא פתוחה אם מתקיים אחד משני התנאים הבאים:
- \(U\) הייתה קבוצה פתוחה ב-\(X\), כלומר \(U\subseteq X\) ו-\(U\in\tau_{Y}\).
- \(\infty\in U\) וגם \(Y\setminus U\) היא קבוצה קומפקטית (ב-\(X\)).
הגדרה 6.1. ישרים ומעגלים במישור המרוכב
- ישר הוא קבוצה מהצורה \(\left\{ cx+w\mid x\in\MKreal\right\} \) עבור \(c,w\in\MKcomplex\) כך ש-\(c\neq0\).
- מעגל הוא קבוצה מהצורה \(\left\{ r\cdot\MKcis\left(\theta\right)+w\mid\theta\in\MKreal\right\} \)32האם באמת יש להכניס להגדרה גם מעגלים שמרכזם אינו הראשית? עבור \(0<r\in\MKreal\) ו-\(w\in\MKcomplex\).
הגדרה 6.2. הספֵירה של רימן33ערך בוויקיפדיה: רימן ברנהרד.
נסמן \(\MKbbp^{1}:=\hat{\MKcomplex}:=\MKcomplex\cup\left\{ \infty\right\} \) ונאמר שתת-קבוצה \(U\subseteq\hat{\MKcomplex}\) היא פתוחה אם מתקיים אחד משני התנאים הבאים:
נסמן \(\MKbbp^{1}:=\hat{\MKcomplex}:=\MKcomplex\cup\left\{ \infty\right\} \) ונאמר שתת-קבוצה \(U\subseteq\hat{\MKcomplex}\) היא פתוחה אם מתקיים אחד משני התנאים הבאים:
- \(U\) הייתה קבוצה פתוחה ב-\(\MKcomplex\), כלומר \(U\subseteq\MKcomplex\) ו-\(U\) פתוחה ב-\(\MKcomplex\).
- \(\infty\in U\) וגם \(\hat{\MKcomplex}\setminus U\) היא קבוצה קומפקטית (ב-\(\MKcomplex\)) - \(U\) כזו תיקרא סביבה של \(\infty\).
- \(\clubsuit\)
- הרעיון הוא שכעת \(\hat{\MKcomplex}\) הוא מרחב קומפקטי: כל תת-סדרה שבעבר לא הייתה לה תת-סדרה מתכנסת, הייתה סדרה שהערך המוחלט שלה שאף ל-\(\infty\), כלומר היא התרחקה מראשית יותר ויותר; כעת כל סדרה כזו מתכנסת ל-\(\infty\).
- \(\clubsuit\)
- הדרך האינטואיטיבית להסתכל על הספירה של רימן (וזו גם הסיבה לשמה) היא כעל גלובוס שהקוטב הצפוני שלו הוא \(\infty\), הקוטב הדרומי שלו הוא \(0\) וקו המשווה הוא מעגל היחידה; כך:
איור 1: הספירה של רימן- מקור:
- התמונה שלעיל נלקחה מוויקישיתוף ומופיעה כאן ברישיון CC BY-SA 3.0.
אני ממליץ בחום לקרוא את הפוסט של גדי אלסנדרוביץ' בנושא, תמצאו שם תיאור הרבה יותר טוב משנתתי כאן, כמו גם את הרעיון כיצד לפרמל את העתקת המישור המרוכב לספירת היחידה התלת-ממדית. - \(\clubsuit\)
- על הספירה של רימן אין הבדל בין קווים ישרים למעגלים - כולם מעגלים, אם תרצו להמשיך את האינטואיציה הגאוגרפית אז אלו שבעבר קראנו להם מעגלים סביב הראשית הם רוחב קווי והישרים המקבילים לצירים הם אורך קווי; כמובן שישנם מעגלים וישרים שאינם קווי אורך או רוחב, על כל פנים לכל אלו נקרא מעכשיו מעגלים מוכללים.
- \(\clubsuit\)
- באופן כללי גזירות ואנליטיות על הספירה של רימן מוגדרת בדיוק באותה צורה שבה היא מוגדרת על המישור המרוכב, החריגה היחידה הוא גזירות ואנליטיות באין-סוף שאינה מוגדרת על המישור המרוכב אך נרצה שתוגדר על הספירה של רימן.
- \(\clubsuit\)
- נראה בהמשך שהדרישה \(ad-bc\neq0\) באה לומר ש-\(T\) הפיכה.
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לכך שלכל \(0\neq\lambda\in\MKcomplex\) מתקיים:\[ \frac{\lambda a\cdot z+\lambda\cdot b}{\lambda c\cdot z+\lambda\cdot d}=\frac{az+b}{cz+d} \]כלומר ההצגה של העתקת מביוס באופן הנ"ל אינה יחידה, אנחנו נראה בהמשך שכל ההצגות של העתקת מביוס אחת בצורה זו נבדלות אך ורק בכפל בסקלר.
- הסכמה:
- תהא \(T\) העתקת מביוס ויהיו \(a,b,c,d\in\MKcomplex\) כך שמתקיים (לכל \(z\) בתחום ההגדרה של \(T\)):\[ T\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d} \]נרצה להרחיב את תחום ההגדרה של \(T\) כך שתהיה מוגדרת על כל הספירה של רימן, לשם כך נגדיר \(\frac{w}{0}:=\infty\) (לכל \(0\neq w\in\MKcomplex\)), ובנוסף34לא ייתכן ש-\(c=0\) ובנוסף \(a=0\) ו/או \(d=0\) מפני ש-\(ad-bc\neq0\).:\[\begin{align*} T\left(\infty\right) & :=\frac{a}{c} & T\left(\frac{-d}{c}\right) & :=\infty \end{align*}\]
- סימון:
- נסמן ב-\(\MKaut\left(\hat{\MKcomplex}\right)\) את קבוצת הפונקציות הגזירות וההפיכות מ-\(\hat{\MKcomplex}\) ל-\(\hat{\MKcomplex}\)35העתקות כאלה נקראות העתקות קונפורמיות על \(\hat{\MKcomplex}\), אנחנו נראה בנושא הבא שגם ההופכית של קונפורמית היא קונפורמית..
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לדמיון הברור לכפל מטריצות:\[ \left[\begin{array}{cc} a_{1} & b_{1}\\ c_{1} & d_{1} \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc} a_{2} & b_{2}\\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a_{1}a_{2}+b_{1}c_{2} & a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2}\\ c_{1}a_{2}+d_{1}c_{2} & c_{1}b_{2}+d_{1}d_{2} \end{array}\right] \]כלומר קבוצת כל ההעתקות של מביוס היא חבורה שהכפל שלה הוא הרכבת פונקציות, ובנוסף הפונקציה המעתיקה מטריצה ב-\(\MKgl_{2}\left(\MKcomplex\right)\) להעתקת מביוס עם אותם מקדמים היא אפימורפיזם שהגרעין שלו הוא המטריצות הסקלריות. זו הסיבה לכך שהדרישה \(ad-bc\neq0\) קובעת שההעתקה הפיכה, וזו גם הסיבה לכך שכל ההצגות של העתקת מביוס נתונה זהות עד כדי כפל בסקלר.
- \(\clubsuit\)
- כלומר אם מתקיים שוויון באחד הסעיפים אז \(f\) פועלת על \(\MKbbd\) ע"י סיבוב בלבד.
- סימון:
- נסמן ב-\(\MKaut\left(\MKbbd\right)\) את קבוצת הפונקציות הגזירות וההפיכות מ-\(\MKbbd\) ל-\(\MKbbd\).
הגדרה 6.3. מעגלים מוכללים על הספירה של רימן
מעגל מוכלל הוא תת-קבוצה \(A\subseteq\hat{\MKcomplex}\) כך שמתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
מעגל מוכלל הוא תת-קבוצה \(A\subseteq\hat{\MKcomplex}\) כך שמתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
- \(A\subseteq\MKcomplex\) ו-\(A\) היא מעגל כפי הגדרתו לעיל (הגדרה 4.1).
- קיים ישר \(L\subseteq\MKcomplex\) כך ש-\(A=L\cup\left\{ \infty\right\} \).
הגדרה 6.4. תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בסביבה של \(\infty\).
- נאמר ש-\(f\) גזירה ב-\(\infty\) אם קיים הגבול:\[ \lim_{w\rightarrow0}\frac{f\left(\frac{1}{w}\right)-f\left(\infty\right)}{w-0} \]ובמקרה כזה נקרא לאותו הגבול הנגזרת של \(f\) ב-\(\infty\) ונסמן אותו ב-\(f'\left(\infty\right)\).
- נאמר ש-\(f\) אנליטית ב-\(\infty\) אם \(f\) גזירה בסביבה כלשהי של \(\infty\).
- נאמר ש-\(f\) אנליטית על קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\hat{\MKcomplex}\) כך ש-\(\infty\in\Omega\) אם \(f\) גזירה בכל נקודה ב-\(\Omega\).
- נאמר ש-\(f\) אנליטית על קבוצה \(A\subseteq\hat{\MKcomplex}\) (לאו דווקא פתוחה) אם קיימות קבוצה פתוחה \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) כך ש-\(A\subseteq\Omega\) ופונקציה \(g:\Omega\rightarrow\hat{\MKcomplex}\) אנליטית על \(\Omega\), ובנוסף \(f\left(z\right)=g\left(z\right)\) לכל \(z\in A\).
- נאמר ש-\(f\) אנליטית אם היא אנליטית על כל תחום הגדרתה.
הגדרה 6.5. העתקות מביוס36נקראות על שם מביוס פרדיננד אוגוסט.
העתקת מביוס היא פונקציה \(T\) המוגדרת ע"י (לכל \(z\in\MKcomplex\) כך שהביטוי מוגדר):\[ T\left(z\right):=\frac{az+b}{cz+d} \]עבור \(a,b,c,d\in\MKcomplex\) כך ש-\(ad-bc\neq0\).
העתקת מביוס היא פונקציה \(T\) המוגדרת ע"י (לכל \(z\in\MKcomplex\) כך שהביטוי מוגדר):\[ T\left(z\right):=\frac{az+b}{cz+d} \]עבור \(a,b,c,d\in\MKcomplex\) כך ש-\(ad-bc\neq0\).
טענה 6.6. תהא \(f\) פונקציה שלמה, אם הגבול \(\lim_{z\rightarrow\infty}\left|f\left(z\right)\right|\) קיים במובן הרחב אז \(f\) היא פולינום.
מסקנה 6.7. תהא \(f\) פונקציה מרומורפית על \(\MKcomplex\), אם הגבול \(\lim_{z\rightarrow\infty}\left|f\left(z\right)\right|\) קיים במובן הרחב אז \(f\) היא פונקציה רציונלית37כלומר קיימים \(P,Q\in\MKcomplex\left[z\right]\) כך ש-\(f\left(z\right)=\frac{P\left(z\right)}{Q\left(z\right)}\) לכל \(z\) בתחום ההגדרה של \(f\)..
טענה 6.8. תהא \(f\) פונקציה שלמה וחח"ע (הפיכה), \(f\) היא העתקה אפינית - קיימים \(a,b\in\MKcomplex\) כך ש-\(a\neq0\) ו-\(f\left(z\right)=az+b\) לכל \(z\in\MKcomplex\).
טענה 6.9. תהא \(f:\hat{\MKcomplex}\rightarrow\hat{\MKcomplex}\) הפונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(z\right):=\frac{1}{z}\) לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\)38כזכור הגדרנו \(\frac{w}{0}:=\infty\) ו-\(\frac{w}{\infty}:=0\) לכל \(0\neq w\in\MKcomplex\)., לכל קבוצה \(A\subseteq\hat{\MKcomplex}\) כך ש-\(A\) היא מעגל מוכלל גם \(f\left(A\right)\) היא מעגל מוכלל.
מסקנה 6.10. \(\MKaut\left(\hat{\MKcomplex}\right)\) היא קבוצת כל הפונקציות המתקבלות ע"י הרכבות של \(f\) הנ"ל (\(f\left(z\right):=\frac{1}{z}\) לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\)) והעתקות אפיניות (פונקציות מהצורה \(g\left(z\right):=az+b\) עבור \(a,b\in\MKcomplex\) כך ש-\(a\neq0\)).
טענה 6.11. תהיינה \(T_{1},T_{2}:\hat{\MKcomplex}\rightarrow\hat{\MKcomplex}\) שתי העתקות מביוס, ויהיו \(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1},a_{2},b_{2},c_{2},d_{2}\in\MKcomplex\) כך שמתקיים (לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\)):\[\begin{align*}
T_{1}\left(z\right) & =\frac{a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}} & T_{2}\left(z\right) & =\frac{a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}
\end{align*}\]לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\) מתקיים גם:\[
T_{1}\left(T_{2}\left(z\right)\right)=\frac{\left(a_{1}a_{2}+b_{1}c_{2}\right)\cdot z+\left(a_{1}b_{2}+b_{1}d_{2}\right)}{\left(c_{1}a_{2}+d_{1}c_{2}\right)\cdot z+\left(c_{1}b_{2}+d_{1}d_{2}\right)}
\]
מסקנה 6.12. תהא \(T:\hat{\MKcomplex}\rightarrow\hat{\MKcomplex}\) העתקת מביוס ויהיו \(a,b,c,d\in\MKcomplex\) כך שמתקיים (לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\)):\[
T\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}
\]\(T\) הפיכה, ולכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\) מתקיים:\[
T^{-1}\left(z\right)=\frac{dz-b}{-cz+a}
\]
מסקנה 6.13. \(\MKaut\left(\hat{\MKcomplex}\right)\) היא קבוצת כל ההעתקות של מביוס.
טענה 6.14. להעתקת מביוס שאינה הזהות יש לכל הפחות נקודת שבת אחת ולכל היותר שתי נקודות שבת.
הוכחה. תהא \(T:\hat{\MKcomplex}\rightarrow\hat{\MKcomplex}\) העתקת מביוס שאינה הזהות ויהיו \(a,b,c,d\in\MKcomplex\) כך שמתקיים (לכל \(z\in\hat{\MKcomplex}\)):\[
T\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}
\]נחלק למקרים:
- נניח ש-\(c\neq0\) (הנחה זו לבדה כבר קובעת ש-\(T\neq\MKid\)), א"כ \(T\left(\infty\right)=\frac{a}{c}\neq\infty\) ולכן \(\infty\) אינה נקודת שבת של \(T\).
לכל \(z\in\MKcomplex\) מתקיים:\[\begin{align*} T\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}=z & \Longleftrightarrow cz^{2}+dz=az+b\\ & \Longleftrightarrow cz^{2}+\left(d-a\right)\cdot z-b=0 \end{align*}\]זוהי משוואה ריבועית ולכן יש לה פתרון ב-\(\MKcomplex\) ובנוסף יש לה לכל היותר שני פתרונות שונים, כלומר יש ל-\(T\) לכל הפחות נקודת שבת אחת ולכל היותר שתי נקודות שבת. - נניח ש-\(c=0\) (מהעובדה ש-\(T\neq\MKid\) נובע ש-\(b\neq0\) ו/או \(a\neq d\)), א"כ \(a\neq0\) ו-\(T\left(\infty\right)=\frac{a}{c}=\infty\), כלומר במקרה זה \(\infty\) היא אחת מנקודות השבת של \(T\).
בנוסף, לכל \(z\in\MKcomplex\) מתקיים:\[\begin{align*} T\left(z\right)=\frac{az+b}{0\cdot z+d}=z & \Longleftrightarrow dz=az-b\\ & \Longleftrightarrow\left(d-a\right)\cdot z=-b\\ & \Longleftrightarrow z=\frac{b}{a-d} \end{align*}\]מכאן של-\(T\) יש נקודת שבת נוספת (מלבד \(\infty\)) אם"ם \(a\neq d\), ובמקרה זה יש לה בדיוק שתי נקודות שבת: \(\infty\) ו-\(\frac{b}{a-d}\).
מסקנה 6.15. לכל \(z_{1},z_{2},z_{3},w_{1},w_{2},w_{3}\in\hat{\MKcomplex}\) כך ש-\(z_{1},z_{2},z_{3}\) שונים זה מזה ו-\(w_{1},w_{2},w_{3}\) שונים זה מזה, קיימת העתקת מביוס יחידה המעתיקה את \(z_{i}\) ל-\(w_{i}\) לכל \(3\geq i\in\MKnatural\).
משפט 6.16. הלמה של שוורץ
תהא \(f:\MKbbd\rightarrow\MKbbd\) פונקציה אנליטית כך ש-\(f\left(0\right)=0\) ו-\(f\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\MKbbd}\), לכל \(z\in\MKbbd\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq\left|z\right|\) ובנוסף \(\left|f'\left(0\right)\right|\leq1\).
כמו כן אם קיים \(0\neq z\in\MKbbd\) כך ש-\(\left|f\left(z\right)\right|=\left|z\right|\) ו/או ש-\(\left|f'\left(0\right)\right|=1\) אז קיים \(c\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|c\right|=1\) ו-\(f\left(z\right)=cz\) לכל \(z\in\MKbbd\).
תהא \(f:\MKbbd\rightarrow\MKbbd\) פונקציה אנליטית כך ש-\(f\left(0\right)=0\) ו-\(f\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\MKbbd}\), לכל \(z\in\MKbbd\) מתקיים \(\left|f\left(z\right)\right|\leq\left|z\right|\) ובנוסף \(\left|f'\left(0\right)\right|\leq1\).
כמו כן אם קיים \(0\neq z\in\MKbbd\) כך ש-\(\left|f\left(z\right)\right|=\left|z\right|\) ו/או ש-\(\left|f'\left(0\right)\right|=1\) אז קיים \(c\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|c\right|=1\) ו-\(f\left(z\right)=cz\) לכל \(z\in\MKbbd\).
מסקנה 6.17. תהא \(f\in\MKaut\left(\MKbbd\right)\), אם \(f\left(0\right)=0\) אז קיים \(c\in\MKcomplex\) כך ש-\(\left|c\right|=1\) ו-\(f\left(z\right)=cz\) לכל \(z\in\MKbbd\).
מסקנה 6.18. לכל \(f\in\MKaut\left(\MKbbd\right)\) קיימים \(\theta\in\left[0,2\pi\right]\) ו-\(b\in\MKbbd\) כך שמתקיים (לכל \(z\in\MKbbd\)):\[
f\left(z\right)=e^{i\theta}\cdot\frac{z+b}{1+z\bar{b}}
\]
\(\:\)
7 פונקציות הרמוניות
7.1 הגדרות
הגדרה 7.1. פונקציה הרמונית
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, נאמר שפונקציה \(f:\Omega\rightarrow\MKreal\) היא פונקציה הרמונית על \(\Omega\) אם היא דיפרנציאבילית פעמיים ברציפות (במובן הממשי)39דיפרנציאביליות פעמיים ברציפות שקולה לכך שכל הנגזרות החלקיות השניות רציפות. ומקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:\[ \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0 \]
יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום, נאמר שפונקציה \(f:\Omega\rightarrow\MKreal\) היא פונקציה הרמונית על \(\Omega\) אם היא דיפרנציאבילית פעמיים ברציפות (במובן הממשי)39דיפרנציאביליות פעמיים ברציפות שקולה לכך שכל הנגזרות החלקיות השניות רציפות. ומקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:\[ \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0 \]
- \(\clubsuit\)
- ההגדרה ניתנת להרחבה גם עבור פונקציות מ-\(\MKreal^{n}\) ל-\(\MKreal\).
- \(\clubsuit\)
- לפונקציה הרמונית יש פונקציה משלימה יחידה עד חיבור של קבוע, הסיבה לכך היא שהנגזרות החלקיות של כל פונקציה משלימה נקבעות כבר ע"י הפונקציה הראשונה ולכן השינוי היחיד שאפשר לבצע הוא הוספת קבוע.
- \(\clubsuit\)
- במקומות אחרים אומרים ש-\(v\) היא צמודה הרמונית של \(u\).
- \(\clubsuit\)
- כדי להוכיח את השקילות לפסוק השלישי נכפול את \(u+iv\) ב-\(-i\), (באותה מידה כל קבוע אחר שאינו \(0\) ייתן שקילות לפונקציות המתאימות).
- סימון:
- \(\MKbbd:=B_{1}\left(0\right)\) וממילא \(\overline{\MKbbd}=\hat{B_{1}}\left(0\right)\).
- סימון:
- תהא \(P:\partial\MKbbd\times\MKbbd\rightarrow\MKreal\) הפונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(\left(w,z\right)\in\partial\MKbbd\times\MKbbd\)):\[ P\left(w,z\right):=\frac{1-\left|z\right|^{2}}{\left|w-z\right|^{2}} \]פונקציה זו נקראת גרעין פואסון40ערך בוויקיפדיה: סימאון דני פואסון..
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לכך שלכל \(z\in\MKbbd\) ולכל \(w\in\partial\MKbbd\) מתקיים:\[\begin{align*} P\left(w,z\right) & =\frac{1-\left|z\right|^{2}}{\left|w-z\right|^{2}}=\frac{\left|w\right|^{2}-\left|z\right|^{2}}{\left|w-z\right|^{2}}=\MKre\left(\frac{\left|w\right|^{2}-\left|z\right|^{2}+z\overline{w}-\overline{z}w}{\left|w-z\right|^{2}}\right)\\ & =\MKre\left(\frac{w+z}{w-z}\cdot\frac{\overline{w}-\overline{z}}{\overline{w-z}}\right)=\MKre\left(\frac{w+z}{w-z}\cdot\frac{\overline{w}-\overline{z}}{\overline{w}-\overline{z}}\right)=\MKre\left(\frac{w+z}{w-z}\right) \end{align*}\]כלומר \(P\) היא החלק הממשי של פונקציה אנליטית ולכן היא פונקציה הרמונית.
- \(\clubsuit\)
- כלומר הערכים ש-\(u\) מקבלת על שפת המעגל קובעים אותה ביחידות בתוך המעגל - אין עוד פונקציה הרמונית אחרת שמקבלת את אותם הערכים על השפה אך מקבלת ערכים שונים בפנים. למעשה גם הכיוון ההפוך נכון: בהינתן פונקציה רציפה על שפה של עיגול (מעגל) ניתן להגדיר אותה גם על פנים העיגול באמצעות הנוסחה הנ"ל וכך לקבל פונקציה הרמונית.
הגדרה 7.2. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום ותהיינה \(u\) ו-\(v\) שתי פונקציות הרמוניות על \(\Omega\), נאמר שהזוג הסדור \(\left(u,v\right)\) הוא זוג פונקציות משלימות אם מתקיימות המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות הבאות:\[\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x} & =\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial y} & =-\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align*}\]
מסקנה 7.3. יהי \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) תחום תהיינה \(u,v:\Omega\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות, שלושת הפסוקים הבאים שקולים:
- הפונקציה \(u+iv\) היא פונקציה אנליטית.
- \(\left(u,v\right)\) הוא זוג פונקציות משלימות.
- \(\left(v,-u\right)\) הוא זוג פונקציות משלימות.
משפט 7.4. לכל פונקציה אנליטית \(f\) על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\), הפונקציות \(\MKre f\) ו-\(\MKim f\) הן פונקציות הרמוניות על \(\Omega\).
למה 7.5. תהא \(u\) פונקציה הרמונית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\) הפונקציה \(u_{x}-i\cdot u_{y}\) היא פונקציה אנליטית.
משפט 7.6. יהי \(\Omega\subseteq\MKreal^{2}\) תחום פשוט קשר אנליטית, לכל פונקציה הרמונית \(u:\Omega\rightarrow\MKreal\) קיימת פונקציה משלימה, כלומר קיימת פונקציה אנליטית \(f:\Omega\rightarrow\MKcomplex\) כך ש-\(u=\MKre f\).
מסקנה 7.7. תהא \(f\) פונקציה אנליטית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\); אם \(f\left(z\right)\neq0\) לכל \(z\in\Omega\) ו-\(\Omega\) הוא תחום פשוט קשר אנליטית, אז \(\ln\left|f\right|\) היא פונקציה הרמונית.
משפט 7.8. עקרון המקסימום לפונקציות הרמוניות
תהא \(u\) פונקציה הרמונית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
תהא \(u\) פונקציה הרמונית על תחום \(\Omega\subseteq\MKcomplex\).
- אם ל-\(u\) יש מקסימום מקומי חלש ב-\(\Omega\) אז \(u\) קבועה.
- אם \(u\) אינה קבועה אז \(\left|u\right|\) אינה מקבלת מקסימום ב-\(\Omega\).
- אם \(\Omega\) חסום ו-\(u\) ניתנת להרחבה רציפה על \(\overline{\Omega}\) אז \(\left|\bar{u}\right|\) מקבלת מקסימום על \(\partial\Omega\).
משפט 7.9. נוסחת פואסון
תהא \(u\) פונקציה הרמונית על \(\MKbbd\) ורציפה ב-\(\overline{\MKbbd}\), לכל \(z\in\MKbbd\) מתקיים:\[ u\left(z\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}P\left(e^{i\theta},z\right)\cdot u\left(e^{i\theta}\right)d\theta \]
תהא \(u\) פונקציה הרמונית על \(\MKbbd\) ורציפה ב-\(\overline{\MKbbd}\), לכל \(z\in\MKbbd\) מתקיים:\[ u\left(z\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}P\left(e^{i\theta},z\right)\cdot u\left(e^{i\theta}\right)d\theta \]
מסקנה 7.10. תהא \(z_{0}\in\MKcomplex\), יהי \(0<r\in\MKreal\) ותהא \(u\) פונקציה הרמונית על \(B_{r}\left(z_{0}\right)\) ורציפה ב-\(\hat{B_{r}}\left(z_{0}\right)\), לכל \(z\in B_{r}\left(z_{0}\right)\) מתקיים:\[
u\left(z\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}P\left(e^{i\theta},\frac{z-z_{0}}{r}\right)\cdot u\left(z_{0}+r\cdot e^{i\theta}\right)d\theta
\]ובפרט:\[
u\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi}\cdot\intop_{0}^{2\pi}u\left(z_{0}+r\cdot e^{i\theta}\right)d\theta
\]